Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình

Bài 1. Phép biến hình và phép dời hình - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

I. Giới thiệu chung về phép biến hình

Trong hình học, phép biến hình là một sự biến đổi các điểm trong không gian. Nói cách khác, nó là một quy tắc gán mỗi điểm M trong mặt phẳng với một điểm M' cũng trong mặt phẳng đó. Phép biến hình được ký hiệu là f: M → M'.

Một phép biến hình hoàn toàn được xác định khi biết ảnh của một tập hợp đủ các điểm. Ví dụ, nếu biết ảnh của ba điểm không thẳng hàng, ta có thể xác định được ảnh của mọi điểm trong mặt phẳng.

II. Định nghĩa phép biến hình

Phép biến hình f là một ứng dụng từ mặt phẳng vào chính nó, tức là một hàm số f: P → P, trong đó P là tập hợp tất cả các điểm trên mặt phẳng.

III. Các loại phép biến hình cơ bản

1. Phép tịnh tiến: Phép tịnh tiến là phép biến hình giữ nguyên mọi điểm, tức là M' = M + v, với v là vectơ tịnh tiến.
2. Phép quay: Phép quay là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho khoảng cách từ M đến tâm quay O bằng khoảng cách từ M' đến tâm quay O, và góc giữa OM và OM' là một góc cố định α.
3. Phép đối xứng qua một đường thẳng: Phép đối xứng qua một đường thẳng d là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho d là đường trung trực của đoạn thẳng MM'.
4. Phép đối xứng qua một điểm: Phép đối xứng qua một điểm O là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'.

IV. Định nghĩa phép dời hình

Phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa các điểm. Nói cách khác, nếu hai điểm M và N có khoảng cách MN = d, thì hai điểm M' và N' (ảnh của M và N qua phép dời hình) cũng có khoảng cách M'N' = d.

V. Tính chất của phép dời hình

• Phép dời hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
• Phép dời hình bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
• Phép dời hình biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

VI. Mối quan hệ giữa phép biến hình và phép dời hình

Mọi phép dời hình đều là phép biến hình, nhưng không phải mọi phép biến hình đều là phép dời hình. Ví dụ, phép vị tự không phải là phép dời hình vì nó không bảo toàn khoảng cách.

VII. Bài tập ví dụ

Bài 1: Cho điểm A(1; 2) và phép tịnh tiến theo vectơ v = (3; -1). Tìm tọa độ điểm A' là ảnh của A qua phép tịnh tiến đó.

Giải: A' = A + v = (1 + 3; 2 - 1) = (4; 1)

Bài 2: Cho đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và phép đối xứng qua trục Ox. Tìm phương trình đường thẳng d' là ảnh của d qua phép đối xứng đó.

Giải: Phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M(x; y) thành điểm M'(x; -y). Do đó, phương trình đường thẳng d' là x - y - 2 = 0.

VIII. Kết luận

Bài học này đã cung cấp những kiến thức cơ bản về phép biến hình và phép dời hình. Việc nắm vững những khái niệm này là rất quan trọng để giải quyết các bài toán hình học phức tạp hơn. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của bạn.