1. Môn Toán
  2. Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 7, 8 trong Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.

Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc bản chất của bài toán.

Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M’, khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không?

Khám phá 2

    Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M’, khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không?

    Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 0 1

    Phương pháp giải:

    Quan sát hình 3 để trả lời

    Lời giải chi tiết:

    Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M’, khoảng cách giữa hai trục bánh xe không thay đổi.

    Thực hành 2

      Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M’ = h(M) sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’ (Hình 6), còn với M trùng với O thì ta chọn O = h(M). Chứng minh h là một phép dời hình.

      Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 1 1

      Phương pháp giải:

      Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.

      Lời giải chi tiết:

      Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 1 2

      ⦁ Với hai điểm M, N khác O, ta đặt M’ = h(M) và N’ = h(N) với O là trung điểm của MM’ và O cũng là trung điểm của NN’.

      Suy ra tứ giác MNM’N’ là hình bình hành.

      Do đó MN = M’N’ (1)

      ⦁ Với M trùng O, ta có O = h(M).

      Suy ra MO = 0 (2)

      Từ (1), (2), ta thu được h là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

      Vậy h là một phép dời hình.

      Vận dụng

        Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 2 1

        Phương pháp giải:

        Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.

        Lời giải chi tiết:

        Ta đặt f là phép biến hình biến con thiên nga trong bức tranh thành bóng của con thiên nga đó qua đường thẳng d (mặt hồ).

        Chọn M’ = f(M) hay M’ là điểm đối xứng của M qua d.

        Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

        Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

        Khi đó H là trung điểm của MM’ và MM’ ⊥ d tại H.

        Trên hình 7b, chọn điểm N tùy ý trên con thiên nga đã vẽ trên mặt hồ (như hình vẽ).

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 2 2

        Chọn \(N' = f\left( N \right)\) hay N’ là điểm đối xứng của N qua d.

        Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng NN’.

        Gọi K là giao điểm của NN’ và d.

        Khi đó K là trung điểm của NN’ và NN’ ⊥ d tại K.

        Ta có

         \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{M'H}}} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {{\rm{M'H}}} } \right) + \left( {\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {KN'} } \right) + 2\overrightarrow {HK} \end{array}\)

         \( = \vec 0 + \vec 0 + 2\overrightarrow {HK} \) (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

        \( = 2\overrightarrow {HK} \)

        Lại có 

        \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} } \right) - \left( {\overrightarrow {HN'} - \overrightarrow {HM'} } \right)\\ = \overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} - \overrightarrow {HN'} + \overrightarrow {HM'} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HN'} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM'} - \overrightarrow {HM} } \right) = \overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} \end{array}\)

        Ta có \({\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right) = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} } \right)\) \( = 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'} = 2.0 + 2.0 = 0\) (do MM’ ⊥ d và NN’ ⊥ d).

        Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2}\).

        Do đó \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)

        Vì vậy phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

        Vậy ta có điều phải chứng minh.

        Lựa chọn câu để xem lời giải nhanh hơn
        • Khám phá 2
        • Thực hành 2
        • Vận dụng

        Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M’, khoảng cách giữa hai trục bánh xe có thay đổi không?

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 1

        Phương pháp giải:

        Quan sát hình 3 để trả lời

        Lời giải chi tiết:

        Khi một ô tô dời chỗ đậu từ vị trí M đến M’, khoảng cách giữa hai trục bánh xe không thay đổi.

        Cho điểm O trong mặt phẳng. Ta định nghĩa một phép biến hình h như sau: Với mỗi điểm M khác O chọn M’ = h(M) sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM’ (Hình 6), còn với M trùng với O thì ta chọn O = h(M). Chứng minh h là một phép dời hình.

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 2

        Phương pháp giải:

        Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.

        Lời giải chi tiết:

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 3

        ⦁ Với hai điểm M, N khác O, ta đặt M’ = h(M) và N’ = h(N) với O là trung điểm của MM’ và O cũng là trung điểm của NN’.

        Suy ra tứ giác MNM’N’ là hình bình hành.

        Do đó MN = M’N’ (1)

        ⦁ Với M trùng O, ta có O = h(M).

        Suy ra MO = 0 (2)

        Từ (1), (2), ta thu được h là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

        Vậy h là một phép dời hình.

        Một người đã vẽ xong bức tranh một con thiên nga đang bơi trên mặt hồ (đường thẳng d) (Hình 7a). Người đó muốn vẽ bóng của con thiên nga đó xuống mặt nước (như Hình 7b) bằng cách gấp tờ giấy theo đường thẳng d và đồ theo hình con thiên nga trên nửa tờ giấy còn lại. Chứng tỏ rằng đây là một phép dời hình.

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 4

        Phương pháp giải:

        Phép dời hình là phép biến hình bảo toàn khoảng cách (không làm thay đổi khoảng cách) giữa 2 điểm bất kì.

        Lời giải chi tiết:

        Ta đặt f là phép biến hình biến con thiên nga trong bức tranh thành bóng của con thiên nga đó qua đường thẳng d (mặt hồ).

        Chọn M’ = f(M) hay M’ là điểm đối xứng của M qua d.

        Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng MM’.

        Gọi H là giao điểm của MM’ và d.

        Khi đó H là trung điểm của MM’ và MM’ ⊥ d tại H.

        Trên hình 7b, chọn điểm N tùy ý trên con thiên nga đã vẽ trên mặt hồ (như hình vẽ).

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo 5

        Chọn \(N' = f\left( N \right)\) hay N’ là điểm đối xứng của N qua d.

        Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng NN’.

        Gọi K là giao điểm của NN’ và d.

        Khi đó K là trung điểm của NN’ và NN’ ⊥ d tại K.

        Ta có

         \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN} } \right) + \left( {\overrightarrow {{\rm{M'H}}} + \overrightarrow {HK} + \overrightarrow {KN'} } \right)\\ = \left( {\overrightarrow {MH} + \overrightarrow {{\rm{M'H}}} } \right) + \left( {\overrightarrow {KN} + \overrightarrow {KN'} } \right) + 2\overrightarrow {HK} \end{array}\)

         \( = \vec 0 + \vec 0 + 2\overrightarrow {HK} \) (do H, K lần lượt là trung điểm của MM’, NN’)

        \( = 2\overrightarrow {HK} \)

        Lại có 

        \(\begin{array}{l}\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} } \right) - \left( {\overrightarrow {HN'} - \overrightarrow {HM'} } \right)\\ = \overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HM} - \overrightarrow {HN'} + \overrightarrow {HM'} = \left( {\overrightarrow {HN} - \overrightarrow {HN'} } \right) + \left( {\overrightarrow {HM'} - \overrightarrow {HM} } \right) = \overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} \end{array}\)

        Ta có \({\overrightarrow {MN} ^2} - {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2} = \left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {{\rm{M'N'}}} } \right) = 2\overrightarrow {HK} \left( {\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + \overrightarrow {MM'} } \right)\) \( = 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {{\rm{N'N}}} + 2\overrightarrow {HK} .\overrightarrow {MM'} = 2.0 + 2.0 = 0\) (do MM’ ⊥ d và NN’ ⊥ d).

        Suy ra \({\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {{\rm{M'N'}}} ^2}\).

        Do đó \(MN{\rm{ }} = {\rm{ }}M'N'.\)

        Vì vậy phép biến hình f bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

        Vậy ta có điều phải chứng minh.

        Bạn đang khám phá nội dung Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo trong chuyên mục Ôn tập Toán lớp 11 trên nền tảng tài liệu toán. Được biên soạn chuyên sâu và bám sát chặt chẽ chương trình sách giáo khoa hiện hành, bộ bài tập toán trung học phổ thông này cam kết tối ưu hóa toàn diện quá trình ôn luyện, củng cố kiến thức Toán lớp 11 cho học sinh THPT, thông qua phương pháp tiếp cận trực quan và mang lại hiệu quả học tập vượt trội, tạo nền tảng vững chắc cho các kỳ thi quan trọng và chương trình đại học.
        Ghi chú: Quý thầy, cô giáo và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên MonToan.com.vn bằng cách gửi về:
        Facebook: MÔN TOÁN
        Email: montoanmath@gmail.com

        Giải mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo: Tổng quan

        Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.

        Nội dung chính của Mục 2

        Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:

        • Định nghĩa đạo hàm: Giới thiệu khái niệm đạo hàm của hàm số tại một điểm và trên một khoảng.
        • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Giải thích mối liên hệ giữa đạo hàm và hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số.
        • Các quy tắc tính đạo hàm: Trình bày các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số, cũng như đạo hàm của hàm hợp.
        • Đạo hàm của một số hàm số cơ bản: Tính đạo hàm của các hàm số thường gặp như hàm đa thức, hàm lượng giác, hàm mũ, hàm logarit.

        Giải chi tiết bài tập trang 7

        Bài 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = 3x2 - 2x + 1.

        Giải:

        f'(x) = 6x - 2

        Bài 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = sin(x) + cos(x).

        Giải:

        g'(x) = cos(x) - sin(x)

        Giải chi tiết bài tập trang 8

        Bài 3: Cho hàm số h(x) = x3 + 2x2 - x + 5. Tính h'(x).

        Giải:

        h'(x) = 3x2 + 4x - 1

        Bài 4: Tìm đạo hàm của hàm số y = (x2 + 1)(x - 2).

        Giải:

        y' = (2x)(x - 2) + (x2 + 1)(1) = 2x2 - 4x + x2 + 1 = 3x2 - 4x + 1

        Ứng dụng của đạo hàm

        Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:

        • Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm được sử dụng để xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
        • Khảo sát sự biến thiên của hàm số: Đạo hàm giúp xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
        • Giải các bài toán tối ưu: Đạo hàm được sử dụng để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước.
        • Tính vận tốc và gia tốc: Trong vật lý, đạo hàm của hàm vị trí theo thời gian là vận tốc, và đạo hàm của vận tốc theo thời gian là gia tốc.

        Mẹo học tốt đạo hàm

        1. Nắm vững định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm.
        2. Học thuộc các quy tắc tính đạo hàm.
        3. Luyện tập thường xuyên các bài tập về đạo hàm.
        4. Sử dụng các công cụ hỗ trợ học tập như máy tính bỏ túi, phần mềm toán học.
        5. Tìm hiểu các ứng dụng của đạo hàm trong thực tế.

        Kết luận

        Hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em học sinh những kiến thức và kỹ năng cần thiết để giải quyết các bài tập trong mục 2 trang 7, 8 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Chúc các em học tập tốt!

        Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11

        Tài liệu, đề thi và đáp án Toán 11