Bài 6. Phép vị tự

Phép vị tự là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc giải quyết nhiều bài toán liên quan đến sự tương đồng và đồng dạng của các hình. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép vị tự, bao gồm định nghĩa, tính chất, cách xác định phép vị tự, và các ứng dụng thực tế.

1. Định nghĩa phép vị tự

Phép vị tự là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho M’ nằm trên tia OM và OM’ = k.OM, với k là một số thực dương gọi là tỉ số vị tự, O là tâm vị tự.

Kí hiệu: V_O(k)(M) = M’

• O: Tâm vị tự
• k: Tỉ số vị tự (k > 0)
• M: Điểm gốc
• M’: Ảnh của điểm M qua phép vị tự

2. Tính chất của phép vị tự

Phép vị tự có những tính chất quan trọng sau:

1. Bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
2. Bảo toàn góc giữa hai đường thẳng bất kỳ.
3. Biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
4. Biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng tâm và bán kính bằng k lần bán kính đường tròn ban đầu.

3. Cách xác định phép vị tự

Để xác định một phép vị tự, ta cần xác định:

• Tâm vị tự O
• Tỉ số vị tự k

Thông thường, tâm vị tự có thể là một điểm bất kỳ, hoặc là một điểm đặc biệt như trọng tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp, hoặc tâm đường tròn nội tiếp của một hình.

4. Các trường hợp đặc biệt của phép vị tự

Có một số trường hợp đặc biệt của phép vị tự:

• k = 1: Phép vị tự trở thành phép đồng nhất (biến mỗi điểm thành chính nó).
• k = -1: Phép vị tự trở thành phép đối xứng qua tâm O.

5. Ứng dụng của phép vị tự

Phép vị tự có nhiều ứng dụng trong hình học, bao gồm:

• Chứng minh sự đồng dạng của hai hình.
• Giải các bài toán liên quan đến tỉ lệ và đồng dạng.
• Xây dựng các hình tương đồng.

6. Bài tập ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC và điểm O. Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự V_O(2).

Giải: Gọi A’, B’, C’ lần lượt là ảnh của A, B, C qua phép vị tự V_O(2). Khi đó, ta có:

• OA’ = 2OA
• OB’ = 2OB
• OC’ = 2OC

Tam giác A’B’C’ là ảnh của tam giác ABC qua phép vị tự V_O(2).

Ví dụ 2: Cho đường tròn (O, R) và điểm I. Tìm ảnh của đường tròn (O, R) qua phép vị tự V_I(3).

Giải: Ảnh của đường tròn (O, R) qua phép vị tự V_I(3) là một đường tròn (O’, 3R), với O’ là ảnh của O qua phép vị tự V_I(3).

7. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép vị tự, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập phong phú và đa dạng, giúp bạn củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về phép vị tự. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!