Bài 4. Phép đối xứng tâm

Bài 4. Phép đối xứng tâm - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

1. Định nghĩa phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm O (ký hiệu là D_O) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho O là trung điểm của đoạn thẳng MM'. Nói cách khác, M' là điểm đối xứng của M qua O.

Công thức: x_M' = 2x_O - x_M và y_M' = 2y_O - y_M

2. Tính chất của phép đối xứng tâm

Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ.
Phép đối xứng tâm biến một đường thẳng thành một đường thẳng song song hoặc trùng với đường thẳng ban đầu.
Phép đối xứng tâm biến một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.
Phép đối xứng tâm biến một tam giác thành một tam giác bằng nhau.

3. Biểu thức của phép đối xứng tâm trong mặt phẳng tọa độ

Cho điểm M(x; y) và tâm đối xứng O(a; b). Khi đó, tọa độ điểm M' là ảnh của M qua phép đối xứng tâm O được tính bởi:

M'(x'; y') = (2a - x; 2b - y)

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm ảnh của điểm A(1; 2) qua phép đối xứng tâm O(0; 0).

Giải:

A'(x'; y') = (2*0 - 1; 2*0 - 2) = (-1; -2)

Ví dụ 2: Tìm ảnh của đường thẳng d: x + y - 1 = 0 qua phép đối xứng tâm O(1; 1).

Giải:

Lấy một điểm bất kỳ trên đường thẳng d, ví dụ A(1; 0). Tìm ảnh của A qua phép đối xứng tâm O: A'(-1; 2). Đường thẳng cần tìm đi qua A' và song song với d. Phương trình đường thẳng là: x + y - 1 = 0.

5. Bài tập áp dụng

Tìm ảnh của điểm B(-2; 3) qua phép đối xứng tâm O(1; -1).
Tìm ảnh của đường thẳng d: 2x - y + 3 = 0 qua phép đối xứng tâm O(-2; 1).
Cho tam giác ABC với A(0; 0), B(1; 1), C(2; 0). Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép đối xứng tâm O(1; 1).

6. Mở rộng và liên hệ

Phép đối xứng tâm là một trong bốn phép biến hình cơ bản trong hình học phẳng. Việc nắm vững kiến thức về phép đối xứng tâm là rất quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình, đặc biệt là trong các bài thi Toán THPT Quốc gia.

Ngoài ra, phép đối xứng tâm còn có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, ví dụ như trong thiết kế, kiến trúc, và nghệ thuật.

7. Kết luận

Bài học Bài 4. Phép đối xứng tâm đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và quan trọng về phép đối xứng tâm. Hy vọng rằng, với những kiến thức này, bạn sẽ tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến phép biến hình.