Bài 5. Phép quay

Bài 5. Phép quay - Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo

Phép quay là một phép biến hình quan trọng trong hình học, đóng vai trò then chốt trong việc nghiên cứu các đối xứng và các phép biến đổi hình học. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn toàn diện về phép quay, bao gồm định nghĩa, tính chất, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết.

1. Định nghĩa phép quay

Trong mặt phẳng, phép quay tâm O góc α (α đo bằng độ, 0 ≤ α < 360°) là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M' sao cho:

OM = OM'
Góc xOM' = xOM + α (với chiều dương của đường tròn lượng giác là ngược chiều kim đồng hồ)

Ký hiệu: Q_{(O, α)}(M) = M'.

2. Tính chất của phép quay

Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ. Tức là, nếu M và N là hai điểm bất kỳ, thì MN = M'N'.

Phép quay bảo toàn góc. Tức là, nếu góc xOy là một góc bất kỳ, thì góc x'O'y' bằng góc xOy.

Phép quay biến đường thẳng thành đường thẳng, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

3. Biểu thức tọa độ của phép quay

Cho điểm M(x; y) và phép quay Q_{(O, α)} với O(0; 0). Tọa độ điểm M'(x'; y') sau phép quay được tính bằng công thức:

x' = xcosα - ysinα

y' = xsinα + ycosα

Nếu tâm quay O(a; b) thì:

x' = a + (x - a)cosα - (y - b)sinα

y' = b + (x - a)sinα + (y - b)cosα

4. Các dạng bài tập thường gặp

Xác định ảnh của một điểm qua phép quay: Sử dụng công thức tọa độ để tính tọa độ điểm ảnh sau phép quay.
Xác định tâm và góc của phép quay: Dựa vào các điểm tương ứng trước và sau phép quay để tìm tâm và góc quay.
Chứng minh một hình là ảnh của một hình khác qua phép quay: Chứng minh rằng mỗi điểm của hình này là ảnh của một điểm tương ứng của hình kia qua cùng một phép quay.
Áp dụng phép quay vào giải các bài toán hình học: Sử dụng tính chất bảo toàn khoảng cách và góc của phép quay để giải các bài toán liên quan đến đối xứng và biến đổi hình học.

5. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho điểm A(2; 1) và phép quay Q_{(O, 90°)}. Tìm tọa độ điểm A' sau phép quay.

Giải:

x' = 2cos90° - 1sin90° = 0 - 1 = -1

y' = 2sin90° + 1cos90° = 2 + 0 = 2

Vậy A'(-1; 2).

Ví dụ 2: Cho hai điểm B(1; 2) và C(3; 4). Tìm tâm O và góc α của phép quay Q_{(O, α)} biến B thành C.

(Bài tập này cần giải bằng phương pháp tọa học phức tạp hơn, đòi hỏi kiến thức về vector và phương trình đường thẳng. Giải thích chi tiết sẽ vượt quá phạm vi bài viết này.)

6. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về phép quay, bạn nên thực hành giải nhiều bài tập khác nhau. Montoan.com.vn cung cấp một hệ thống bài tập đa dạng với các mức độ khó khác nhau, kèm theo đáp án và lời giải chi tiết. Hãy truy cập website để luyện tập và củng cố kiến thức của bạn.

7. Kết luận

Phép quay là một công cụ mạnh mẽ trong hình học, giúp chúng ta hiểu sâu hơn về các phép biến hình và các tính chất của hình học. Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn một cái nhìn toàn diện về phép quay và giúp bạn tự tin hơn trong việc giải các bài toán liên quan.