THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 15, 16, 17 trong Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc về bản chất của bài toán.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB).
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Giả sử Đa là phép đối xứng trục qua đường thẳng a. Ta chọn hệ tọa độ Oxy sao cho trục Ox trùng với a. Lấy hai điểm tùy ý A(xA; yA) và B(xB; yB). Gọi A’, B’ lần lượt là ảnh của A, B qua phép đối xứng trục a (Hình 3). Xác định tọa độ của A’ và B’ rồi dùng công thức tính khoảng cách để so sánh A’B’ và AB.
Phương pháp giải:
Công thức tính khoảng cách AB: \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \)
Lời giải chi tiết:
+ Ta có A’ là ảnh của A qua
Suy ra a là đường trung trực của đoạn thẳng AA’ hay Ox là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Do đó A’ đối xứng với A qua Ox nên chúng có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}).\)
Tương tự như vậy, ta được tọa độ \(B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
Vậy tọa độ \(A'({x_A};{\rm{ }}-{y_A}),{\rm{ }}B'({x_B};{\rm{ }}-{y_B}).\)
+ Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)\).
Suy ra \(AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Ta lại có \(\overrightarrow {A'B'} = \left( {{x_B} - {x_A}; - {y_B} + {y_A}} \right)\).
Suy ra:
\(A'B' = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( { - {y_B} + {y_A}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}} \).
Vậy \(A'B'{\rm{ }} = {\rm{ }}AB.\)
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng \(d:{\rm{ }}x-y + 3 = 0\) và đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x + 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2}\; = 9.\)
a) Tìm ảnh của đường thẳng d qua \({Đ_{Oy}}.\)
b) Tìm ảnh của đường tròn (C) qua \({Đ_{Ox}}.\)
Phương pháp giải:
Nếu \(M' = {Đ_{Ox}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = {x_M}\\{y_{M'}} = - {y_M}\end{array} \right.\)
Nếu\(M' = {Đ_{Oy}}(M)\) thì biểu thức tọa độ \(\left\{ \begin{array}{l}{x_{M'}} = - {x_M}\\{y_{M'}} = {y_M}\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Trục \(Oy:{\rm{ }}x = 0.\)
Thế x = 0 vào phương trình d, ta được \(0{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow y{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Suy ra giao điểm của d và Oy là \(P\left( {0;{\rm{ }}3} \right).\)
Chọn điểm \(M\left( {1;{\rm{ }}4} \right) \in d:{\rm{ }}x{\rm{ }}-{\rm{ }}y{\rm{ }} + {\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)
Ta đặt \(M'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Oy}}\left( M \right).\)
Suy ra Oy là đường trung trực của MM’ hay M’ là điểm đối xứng với M qua Oy.
Do đó hai điểm M và M’ có cùng tung độ và có hoành độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm M’(–1; 4).
Ta có \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\)
Gọi d’ là ảnh của d qua \({Đ_{Oy}}.\)
Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {M'P} = \left( {1; - 1} \right)\).
Suy ra d’ có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\)
Vậy đường thẳng d’ đi qua P(0; 3) và có vectơ pháp tuyến \({\vec n_{d'}} = \left( {1;1} \right)\) nên phương trình d’ là: \(1.\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}0} \right){\rm{ }} + {\rm{ }}1.\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0\; \Leftrightarrow x{\rm{ }} + {\rm{ }}y{\rm{ }}-{\rm{ }}3{\rm{ }} = {\rm{ }}0.\)
b) Đường tròn (C) có tâm I(–1; –2), bán kính R = 3.
Ta đặt \(I'{\rm{ }} = {\rm{ }}{Đ_{Ox}}\left( I \right).\)
Suy ra Ox là đường trung trực của II’ hay I’ đối xứng với I qua Ox
Do đó hai điểm I và I’ có cùng hoành độ và có tung độ đối nhau.
Vì vậy tọa độ điểm I’(–1; 2).
Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua ĐOx.
Suy ra (C’) có tâm I’(–1; 2), bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}3.\)
Vậy phương trình đường tròn \(\left( {C'} \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; = {\rm{ }}9.\)
Cho hai điểm A, B là vị trí của hai nhà máy nằm cùng một phía bờ sông là đường thẳng d. Tìm trên bờ sông một địa điểm M để xây dựng một trạm bơm sao cho tổng chiều dài đường ống dẫn nước từ trạm bơm về hai nhà máy là ngắn nhất (Hình 7).
Phương pháp giải:
Quan sát hình 7, suy luận để tìm chiều dài đường ống dẫn là ngắn nhất.
Lời giải chi tiết:
Gọi A’ là ảnh của A qua d.
Suy ra d là đường trung trực của đoạn thẳng AA’.
Mà \(M \in d\) (giả thiết), do đó \(\;MA{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'.\)
Vì AB cố định nên A’B cũng cố định.
Ta có \(MA{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} = {\rm{ }}MA'{\rm{ }} + {\rm{ }}MB{\rm{ }} \ge {\rm{ }}A'B\) (theo bất đẳng thức tam giác).
Suy ra MA + MB ngắn nhất khi và chỉ khi MA' + MB = A'B.
Tức là, ba điểm A’, M, B thẳng hàng hay M là giao điểm của A’B và d.
Vậy địa điểm M cần tìm là giao điểm của bờ sông (đường thẳng d) với đường thẳng A’B, trong đó A’ là ảnh của A qua d.
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập trung vào các kiến thức về đạo hàm của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình Toán 11, đóng vai trò nền tảng cho các kiến thức nâng cao hơn trong các lớp học tiếp theo. Việc nắm vững các khái niệm và kỹ năng giải bài tập trong mục này là rất cần thiết để đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
Trang 15 tập trung vào các bài tập vận dụng định nghĩa đạo hàm và ý nghĩa hình học của đạo hàm. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải hiểu rõ khái niệm đạo hàm và biết cách tính đạo hàm của một số hàm số đơn giản.
Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x2 tại x = 2.
Giải:
f'(x) = limh→0 (f(x+h) - f(x)) / h = limh→0 ((x+h)2 - x2) / h = limh→0 (2xh + h2) / h = limh→0 (2x + h) = 2x.
Vậy, f'(2) = 2 * 2 = 4.
Trang 16 giới thiệu các bài tập về quy tắc tính đạo hàm. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số.
Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số g(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Giải:
g'(x) = 3x2 + 4x - 5.
Trang 17 tập trung vào các bài tập về đạo hàm của hàm hợp và đạo hàm của một số hàm số cơ bản. Các bài tập này yêu cầu học sinh phải biết cách áp dụng các quy tắc tính đạo hàm một cách linh hoạt và sáng tạo.
Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số h(x) = sin(x2).
Giải:
h'(x) = cos(x2) * 2x = 2x * cos(x2).
Để học tốt mục 2, các em học sinh nên:
Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về mục 2 trang 15, 16, 17 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo và đạt kết quả tốt trong học tập.
