THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết và dễ hiểu cho mục 2 trang 12, 13 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải bài tập một cách hiệu quả.
Chúng tôi cung cấp các bước giải chi tiết, kèm theo giải thích rõ ràng, giúp các em hiểu sâu sắc về nội dung bài học.
Cho vectơ \(\overrightarrow u \) và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M qua phép tịnh tiến \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v = (3;2).\)
a) Biết ảnh của điểm M qua \({T_{\overrightarrow v }}\) là điểm M’(–8; 5). Tìm tọa độ điểm M.
b) Tìm ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2}\; = {\rm{ }}4{\rm{ }}\)qua \({T_{\overrightarrow v }}\).
Phương pháp giải:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Đặt \(\;M\left( {x;{\rm{ }}y} \right).\)Suy ra \(\;\overrightarrow {MM'} = ( - 8 - x;5 - y).\)
Theo đề, ta có \(M' = {T_{\overrightarrow v }}(M)\;.\).
Suy ra \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v .\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 8 - x = 3\\5 - y = 2\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\;x = - 11\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ M(–11; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 4.
Gọi (C’), I’(x’; y’) lần lượt là ảnh của (C) và I qua \({T_{\overrightarrow v }}\).
Khi đó đường tròn (C’) có bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) và \(\overrightarrow {II'} = (x' - 2;y' + 3)\)
Ta có \(\;\overrightarrow {II'} = \overrightarrow {v\;} \) (vì \(I' = {T_{\overrightarrow v }}(I)\))
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x' - 2 = 3\\y' + 3 = 2\end{array} \right.\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 5\\y' = - 1\end{array} \right.\)
Suy ra tọa độ tâm đường tròn (C’) là \(I'\left( {5;{\rm{ }}-1} \right).\)
Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4.\)
Cho vectơ \(\overrightarrow u \) và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M qua phép tịnh tiến \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\).
a) Hai vectơ ‘ có bằng nhau không?
b) Khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi như thế nào? Giải thích.
Phương pháp giải:
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{A}} \right) = {\rm{A'}}\), suy ra \(\overrightarrow {AA'} = {\rm{\vec u}}\).
\({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{M}} \right) = {\rm{M'}}\), suy ra \(\overrightarrow {MM'} = {\rm{\vec u}}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MM'} \,\,\,\left( { = {\rm{\vec u}}} \right)\).
Suy ra AA’ = MM’ và AA’ // MM’.
Vì vậy tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.
Vậy \(\overrightarrow {{\rm{A'M'}}} = \overrightarrow {AM} \).
b) Gọi d’ là giá của \(\overrightarrow {{\rm{A'M'}}} \).
Vì A’M’ // AM (do tứ giác AMM’A’ là hình bình hành).
Nên d’ // d.
Vậy khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi trên d’ thỏa mãn \(\overrightarrow {MM'} = {\rm{\vec u}}\).
Cho vectơ \(\overrightarrow u \) và đường thẳng d. A và M là hai điểm bất kì trên d. Gọi A’ và M’ lần lượt là ảnh của A và M qua phép tịnh tiến \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\).
a) Hai vectơ ‘ có bằng nhau không?
b) Khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi như thế nào? Giải thích.
Phương pháp giải:
Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và cùng độ dài.
Lời giải chi tiết:
a) Ta có \({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{A}} \right) = {\rm{A'}}\), suy ra \(\overrightarrow {AA'} = {\rm{\vec u}}\).
\({{\rm{T}}_{{\rm{\vec u}}}}\left( {\rm{M}} \right) = {\rm{M'}}\), suy ra \(\overrightarrow {MM'} = {\rm{\vec u}}\).
Khi đó \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MM'} \,\,\,\left( { = {\rm{\vec u}}} \right)\).
Suy ra AA’ = MM’ và AA’ // MM’.
Vì vậy tứ giác AMM’A’ là hình bình hành.
Vậy \(\overrightarrow {{\rm{A'M'}}} = \overrightarrow {AM} \).
b) Gọi d’ là giá của \(\overrightarrow {{\rm{A'M'}}} \).
Vì A’M’ // AM (do tứ giác AMM’A’ là hình bình hành).
Nên d’ // d.
Vậy khi điểm M thay đổi trên d thì điểm M’ thay đổi trên d’ thỏa mãn \(\overrightarrow {MM'} = {\rm{\vec u}}\).
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow v }}\) với \(\overrightarrow v = (3;2).\)
a) Biết ảnh của điểm M qua \({T_{\overrightarrow v }}\) là điểm M’(–8; 5). Tìm tọa độ điểm M.
b) Tìm ảnh của đường tròn \(\left( C \right):{\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}2} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}3} \right)^2}\; = {\rm{ }}4{\rm{ }}\)qua \({T_{\overrightarrow v }}\).
Phương pháp giải:
Cho vectơ \(\overrightarrow u \), phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow u \) là phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ sao cho \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow u \).
Nếu \(M'(x';y')\) là ảnh của \(M(x;y)\) qua phép tịnh tiến \({T_{\overrightarrow u }}\) , \(\overrightarrow u = \left( {a;\,b} \right)\) thì biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến là \(\left\{ \begin{array}{l}x' = x + a\\y' = y + b\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
a) Đặt \(\;M\left( {x;{\rm{ }}y} \right).\)Suy ra \(\;\overrightarrow {MM'} = ( - 8 - x;5 - y).\)
Theo đề, ta có \(M' = {T_{\overrightarrow v }}(M)\;.\).
Suy ra \(\overrightarrow {MM'} = \overrightarrow v .\).
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l} - 8 - x = 3\\5 - y = 2\end{array} \right.\)
Vì vậy \(\left\{ \begin{array}{l}\;x = - 11\\y = 3\end{array} \right.\)
Vậy tọa độ M(–11; 3) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
b) Đường tròn (C) có tâm I(2; –3), bán kính R = 4.
Gọi (C’), I’(x’; y’) lần lượt là ảnh của (C) và I qua \({T_{\overrightarrow v }}\).
Khi đó đường tròn (C’) có bán kính \(R'{\rm{ }} = {\rm{ }}R{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) và \(\overrightarrow {II'} = (x' - 2;y' + 3)\)
Ta có \(\;\overrightarrow {II'} = \overrightarrow {v\;} \) (vì \(I' = {T_{\overrightarrow v }}(I)\))
Suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}x' - 2 = 3\\y' + 3 = 2\end{array} \right.\)
Do đó \(\left\{ \begin{array}{l}x' = 5\\y' = - 1\end{array} \right.\)
Suy ra tọa độ tâm đường tròn (C’) là \(I'\left( {5;{\rm{ }}-1} \right).\)
Vậy ảnh của đường tròn (C) là đường tròn (C’) có phương trình là: \({\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}5} \right)^2}\; + {\rm{ }}{\left( {y{\rm{ }} + {\rm{ }}1} \right)^2}\; = {\rm{ }}4.\)
Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép biến hình nào?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ và suy luận để trả lời
Lời giải chi tiết:
Ta thấy ô tô được nâng từ vị trí A đến vị trí B.
Khi đó chiếc xe ô tô được tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = \overrightarrow {AB} \) từ mặt đất lên vị trí cần thiết.
Vậy người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép tịnh tiến theo \(\vec v = \overrightarrow {AB} \).
Trong Hình 8, người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép biến hình nào?
Phương pháp giải:
Quan sát hình vẽ và suy luận để trả lời
Lời giải chi tiết:
Ta thấy ô tô được nâng từ vị trí A đến vị trí B.
Khi đó chiếc xe ô tô được tịnh tiến theo vectơ \(\vec v = \overrightarrow {AB} \) từ mặt đất lên vị trí cần thiết.
Vậy người thợ sửa xe đã dùng kích nâng thủy lực để đưa ô tô từ mặt đất đến vị trí cần thiết thông qua phép tịnh tiến theo \(\vec v = \overrightarrow {AB} \).
Mục 2 của Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo tập trung vào việc nghiên cứu về giới hạn của hàm số. Đây là một khái niệm nền tảng quan trọng trong giải tích, giúp học sinh hiểu rõ hơn về hành vi của hàm số khi biến số tiến tới một giá trị nhất định. Việc nắm vững kiến thức về giới hạn là bước đệm quan trọng để học sinh tiếp cận các khái niệm phức tạp hơn như đạo hàm và tích phân.
Mục 2 bao gồm các nội dung chính sau:
Bài tập trang 12 tập trung vào việc vận dụng định nghĩa giới hạn để tính giới hạn của các hàm số đơn giản. Các bài tập này giúp học sinh làm quen với các kỹ năng tính toán giới hạn cơ bản.
Ví dụ, bài tập 1 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = 2x + 1 khi x tiến tới 2. Để giải bài tập này, ta có thể sử dụng định nghĩa giới hạn hoặc áp dụng các quy tắc tính giới hạn. Kết quả là lim (x->2) (2x + 1) = 5.
Bài tập trang 13 nâng cao độ khó hơn so với bài tập trang 12, yêu cầu học sinh vận dụng các tính chất của giới hạn và các quy tắc tính giới hạn để giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Các bài tập này giúp học sinh rèn luyện kỹ năng giải bài tập và tư duy logic.
Ví dụ, bài tập 3 yêu cầu tính giới hạn của hàm số f(x) = (x^2 - 1) / (x - 1) khi x tiến tới 1. Để giải bài tập này, ta có thể phân tích tử số thành nhân tử và rút gọn biểu thức. Kết quả là lim (x->1) (x^2 - 1) / (x - 1) = 2.
Trong quá trình học tập và làm bài tập về giới hạn, học sinh thường gặp các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập về giới hạn một cách hiệu quả, học sinh có thể tham khảo các mẹo sau:
Việc giải mục 2 trang 12, 13 Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo là một bước quan trọng trong quá trình học tập môn Toán của học sinh. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn cụ thể trong bài viết này, các em học sinh sẽ nắm vững kiến thức, rèn luyện kỹ năng và đạt kết quả tốt trong các kỳ thi.
