Bài 1. Tính đơn điệu và cực trị của hàm số

Bài 1 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để xác định tính đơn điệu và cực trị của hàm số. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học, giúp học sinh hiểu sâu hơn về tính chất của hàm số và ứng dụng vào việc vẽ đồ thị.

I. Khái niệm cơ bản

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản sau:

Tính đơn điệu của hàm số: Hàm số được gọi là đồng biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó dương trên khoảng đó. Hàm số được gọi là nghịch biến trên một khoảng nếu đạo hàm của nó âm trên khoảng đó.
Cực trị của hàm số: Điểm x₀ được gọi là điểm cực đại của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x) ≤ f(x₀) với mọi x thuộc (a, b). Điểm x₀ được gọi là điểm cực tiểu của hàm số f(x) nếu tồn tại một khoảng mở (a, b) chứa x₀ sao cho f(x) ≥ f(x₀) với mọi x thuộc (a, b).
Điều kiện cần để hàm số có cực trị: Nếu hàm số f(x) có cực trị tại x₀ thì f'(x₀) = 0 và f'(x₀) không đổi dấu khi x đi qua x₀.
Điều kiện đủ để hàm số có cực trị: Nếu f'(x₀) = 0 và:
- f'(x) > 0 khi x < x₀ và f'(x) < 0 khi x > x₀ thì x₀ là điểm cực đại.
- f'(x) < 0 khi x < x₀ và f'(x) > 0 khi x > x₀ thì x₀ là điểm cực tiểu.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các bài tập về tính đơn điệu và cực trị của hàm số, chúng ta thường thực hiện các bước sau:

Tính đạo hàm f'(x) của hàm số f(x).
Tìm các điểm mà f'(x) = 0 hoặc f'(x) không xác định.
Lập bảng xét dấu f'(x) để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số.
Kết luận về tính đơn điệu và cực trị của hàm số.

III. Ví dụ minh họa

Xét hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2.

Tính đạo hàm: f'(x) = 3x² - 6x.
Tìm điểm làm đạo hàm bằng 0: 3x² - 6x = 0 ⇔ 3x(x - 2) = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2.
Lập bảng xét dấu f'(x):
x -∞ 0 2 +∞
f'(x) + - +
f(x) Đồng biến Nghịch biến Đồng biến
Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2). Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với giá trị f(0) = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2 với giá trị f(2) = -2.

x	-∞	0	2	+∞
f'(x)	+	-	+
f(x)	Đồng biến	Nghịch biến	Đồng biến

IV. Luyện tập

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Hãy chú ý áp dụng các bước giải đã trình bày và kiểm tra lại kết quả của mình.

Hy vọng bài viết này đã giúp các em hiểu rõ hơn về bài 1 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!