THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 1.3 trang 9 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp các bước giải dễ hiểu, kèm theo giải thích chi tiết để bạn nắm vững kiến thức.
Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau: a) (y = x + frac{1}{x}); b) (y = frac{x}{{{x^2} + 1}}).
Đề bài
Xét tính đơn điệu và tìm các cực trị (nếu có) của các hàm số sau:
a) \(y = x + \frac{1}{x}\);
b) \(y = \frac{x}{{{x^2} + 1}}\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\) hoặc đạo hàm không tồn tại.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Ý b:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm, tìm các điểm mà tại đó đạo hàm bằng \(0\).
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến, cực trị của hàm số.
Lời giải chi tiết
a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}\)
Ta có \(y' = 1 - \frac{1}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}}\). Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{{x^2} - 1}}{{{x^2}}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 1;0} \right)\) và \(\left( {0;1} \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\) và \({y_{CĐ}} = y\left( -1 \right) = -2\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\) và \({y_{CT}} = y\left( 1 \right) = 2\).
b) Tập xác định: \(\mathbb{R}\)
Ta có \(y' = \frac{{1 \cdot \left( {{x^2} + 1} \right) - x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} + 1}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 1\).
Lập bảng biến thiên của hàm số:
Từ bảng biến thiên, ta có:
Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).
Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1\) và \({y_{CĐ}} = y\left( { - 1} \right) = \frac{1}{2}\).
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = - 1\) và \({y_{CT}} = y\left( { - 1} \right) = - \frac{1}{2}\).
Bài 1.3 trang 9 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về giới hạn của hàm số. Việc nắm vững kiến thức này là nền tảng quan trọng để học tốt các chương tiếp theo, đặc biệt là chương trình giải tích.
Bài tập 1.3 trang 9 bao gồm các dạng bài tập khác nhau, yêu cầu học sinh:
Để giải câu a, ta cần áp dụng định nghĩa giới hạn của hàm số. Ta có:
lim (x→2) (x^2 - 4) / (x - 2) = lim (x→2) (x - 2)(x + 2) / (x - 2) = lim (x→2) (x + 2) = 4
Vậy, giới hạn của hàm số tại x = 2 là 4.
Để giải câu b, ta cần sử dụng các định lý về giới hạn. Ta có:
lim (x→∞) (2x^2 + 1) / (x^2 + 3) = lim (x→∞) (2 + 1/x^2) / (1 + 3/x^2) = 2/1 = 2
Vậy, giới hạn của hàm số khi x tiến tới vô cùng là 2.
Câu c yêu cầu học sinh áp dụng các kỹ năng đã học để giải quyết một bài toán phức tạp hơn. Việc phân tích và biến đổi biểu thức một cách hợp lý là chìa khóa để tìm ra đáp án đúng.
(Ví dụ về lời giải chi tiết câu c, có thể bao gồm các bước biến đổi, áp dụng định lý và kết luận)
Ngoài bài tập 1.3 trang 9, các bạn có thể tham khảo thêm các bài tập khác trong sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức để củng cố kiến thức. Việc tìm hiểu các tài liệu tham khảo khác cũng sẽ giúp bạn hiểu sâu hơn về chủ đề giới hạn.
Kiến thức về giới hạn có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau, như vật lý, kinh tế, và khoa học máy tính. Ví dụ, trong vật lý, giới hạn được sử dụng để mô tả chuyển động của các vật thể. Trong kinh tế, giới hạn được sử dụng để phân tích sự thay đổi của các biến số.
Bài 1.3 trang 9 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh nắm vững kiến thức về giới hạn của hàm số. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các lưu ý trên, các bạn sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài tập tương tự.
| Dạng bài tập | Phương pháp giải |
|---|---|
| Tính giới hạn tại một điểm | Áp dụng định nghĩa giới hạn hoặc các định lý về giới hạn. |
| Tính giới hạn khi x tiến tới vô cùng | Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x. |
