Bài 6. Vecto trong không gian

Bài 6. Vecto trong không gian - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 6 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu vectơ trong không gian ba chiều. Đây là một phần quan trọng của chương trình hình học, giúp học sinh xây dựng nền tảng vững chắc cho các kiến thức nâng cao hơn. Bài học này bao gồm các nội dung chính sau:

• Định nghĩa vectơ trong không gian: Hiểu rõ khái niệm vectơ, các yếu tố xác định vectơ và cách biểu diễn vectơ trong không gian.
• Các phép toán vectơ: Cộng, trừ, nhân với một số thực vectơ trong không gian.
• Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian: Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích vô hướng trong việc xác định góc giữa hai vectơ, tính độ dài vectơ và kiểm tra tính vuông góc.
• Tích có hướng của hai vectơ trong không gian: Định nghĩa, tính chất và ứng dụng của tích có hướng trong việc tính diện tích hình bình hành, thể tích hình hộp.
• Ứng dụng của vectơ trong không gian: Giải các bài toán về hình học không gian, tìm giao điểm, kiểm tra tính đồng phẳng.

I. Định nghĩa vectơ trong không gian

Trong không gian ba chiều, một vectơ được xác định bởi độ dài và hướng. Một vectơ a được biểu diễn bằng bộ ba số thực (x; y; z), gọi là tọa độ của vectơ a. Kí hiệu: a = (x; y; z).

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu chúng có cùng tọa độ.

II. Các phép toán vectơ trong không gian

1. Phép cộng vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Tổng của hai vectơ a + b được định nghĩa là:

a + b = (x₁ + x₂; y₁ + y₂; z₁ + z₂)

2. Phép trừ vectơ: Cho hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂). Hiệu của hai vectơ a - b được định nghĩa là:

a - b = (x₁ - x₂; y₁ - y₂; z₁ - z₂)

3. Phép nhân với một số thực: Cho vectơ a = (x; y; z) và một số thực k. Tích của số thực k với vectơ a được định nghĩa là:

ka = (kx; ky; kz)

III. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian

Tích vô hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được định nghĩa là:

a.b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂

Tính chất:

• a.b = b.a
• a.a = |a|²
• Nếu a.b = 0 thì a vuông góc với b

IV. Tích có hướng của hai vectơ trong không gian

Tích có hướng của hai vectơ a = (x₁; y₁; z₁) và b = (x₂; y₂; z₂) được ký hiệu là [a, b] và là một vectơ có tọa độ:

[a, b] = (y₁z₂ - z₁y₂; z₁x₂ - x₁z₂; x₁y₂ - y₁x₂)

Tính chất:

• [a, b] vuông góc với cả a và b
• Độ dài của [a, b] bằng diện tích hình bình hành tạo bởi a và b

V. Bài tập áp dụng

Để hiểu rõ hơn về các khái niệm và công thức trên, các em hãy làm các bài tập trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức. montoan.com.vn sẽ cung cấp lời giải chi tiết cho từng bài tập, giúp các em củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.

Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức cơ bản và hữu ích về vectơ trong không gian. Chúc các em học tập tốt!