THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 2.11 trang 45 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi luôn cố gắng cung cấp những lời giải chính xác, dễ hiểu và phù hợp với chương trình học Toán 12 hiện hành. Hãy cùng montoan.com.vn khám phá lời giải chi tiết ngay sau đây!
Cho hình lăng trụ đứng (ABCD.A'B'C'D'). Biết rằng (AA' = 2) và tứ giác (ABCD) là hình thoi có (AB = 1) và (widehat {ABC} = {60^ circ }), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó: a) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'D'} ); b) (overrightarrow {AA'} ) và (overrightarrow {BD} ); c) (overrightarrow {AB} ) và (overrightarrow {A'C'} );
Đề bài
Cho hình lăng trụ đứng \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết rằng \(AA' = 2\) và tứ giác \(ABCD\) là hình thoi có \(AB = 1\) và \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\), hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau và từ đó tính tích vô hướng của mỗi cặp vectơ đó:
a) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'D'} \)
b) \(\overrightarrow {AA'} \) và \(\overrightarrow {BD} \)
c) \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {A'C'} \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Đưa hai vectơ về cùng gốc, nghĩa là từ một trong hai vectơ xác định một vectơ bằng vectơ đó sao cho nó có cùng điểm đầu với vectơ còn lại (sử dụng các yếu tố, song song, bằng nhau xuất hiện trong hình lăng trụ kết hợp với khái niệm hai vectơ bằng nhau). Sau khi xác định được vectơ đó ta sẽ tìm được góc giữa hai vectơ cần tìm là một góc nào đó trong hình, dùng kiến thức hình học phẳng về hình thoi đã học để tìm góc. Từ góc tìm được ta tiếp tục tính tích vô hướng giữa haii vectơ bằng công thức đã học.
Ý b: Chứng minh hai vectơ vuông góc, từ đó xác định được góc và tích vô hướng.
Ý c: Tương tự ý a, ngoài ra còn sử dụng kiến thức hình học phẳng trong tam giác ở bước tìm số đo góc.
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overrightarrow {A'D'} = \overrightarrow {AD} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \widehat {BAC}\).
Mặt khác, xét hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat {BAC} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot \widehat {ABC}}}{2} = \frac{{{{360}^ \circ } - 2 \cdot 60}}{2} = {120^ \circ }\).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'D'} } \right) = {120^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'D'} = AB \cdot AD \cdot \cos {120^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right) = - \frac{1}{2}\).
b) Vì \(AA' \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(AA' \bot BD\), do đó \(\overrightarrow {AA'} \bot \overrightarrow {BD} \) hay \(\left( {\overrightarrow {AA'} ,\overrightarrow {BD} } \right) = {90^ \circ }\).
Khi đó ta có \(\overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BD} = 0\).
c) Ta có \(\overrightarrow {A'C'} = \overrightarrow {AC} \) suy ra \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC}\).
Mặt khác, xét hình tam giác \(ABC\) có \(AB = BC = 1\) nên tam giác \(ABC\) cân tại B,
mà \(\widehat {ABC} = {60^ \circ }\) suy ra tam giác \(ABC\) là tam giác đều, vì vậy \(\widehat {BAC} = {60^ \circ }\).
Do đó \(\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {A'C'} } \right) = {60^ \circ }\). Khi đó ta có \(\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {A'C'} = AB \cdot A'C' \cdot \cos {60^ \circ } = 1 \cdot 1 \cdot \left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{2}\).
Bài 2.11 trang 45 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài toán này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm của hàm số để giải quyết các bài toán thực tế. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và công thức liên quan đến đạo hàm, bao gồm đạo hàm của hàm số tại một điểm, đạo hàm của hàm số trên một khoảng, và các quy tắc tính đạo hàm.
Bài toán 2.11 thường xoay quanh việc tìm đạo hàm của một hàm số cho trước, hoặc tìm điều kiện để một hàm số có đạo hàm tại một điểm. Ngoài ra, bài toán cũng có thể yêu cầu học sinh sử dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến cực trị, khoảng đơn điệu, và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.
Bài toán: Tìm đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Lời giải:
Ngoài bài toán tìm đạo hàm của hàm số đơn giản, bài 2.11 trang 45 SBT Toán 12 - Kết nối tri thức còn có thể xuất hiện các dạng bài tập phức tạp hơn, như tìm đạo hàm của hàm số hợp, tìm đạo hàm cấp hai, và tìm đạo hàm của hàm số ẩn.
Để giải quyết các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững các quy tắc đạo hàm phức tạp hơn, như quy tắc đạo hàm của hàm số hợp, quy tắc đạo hàm của hàm số ẩn, và quy tắc đạo hàm của hàm số lượng giác.
Bài 2.11 trang 45 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài toán quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Việc nắm vững phương pháp giải bài toán này sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn khi giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm trong các kỳ thi sắp tới. Hy vọng rằng, với lời giải chi tiết và các ví dụ minh họa trong bài viết này, các em học sinh sẽ hiểu rõ hơn về bài toán và có thể áp dụng vào các bài tập tương tự một cách hiệu quả.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| (xn)' | Đạo hàm của x mũ n |
| (c)' | Đạo hàm của hằng số |
| (u + v)' | Đạo hàm của tổng |
