THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 1.45 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, kèm theo các lưu ý quan trọng để các em nắm vững kiến thức. Hãy cùng Montoan khám phá lời giải ngay sau đây!
Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích (V) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.
Đề bài
Chứng tỏ rẳng một thùng hình trụ có thể tích \(V\) cố định cần ít vật liệu sản xuất nhất (tức là có diện tích bề mặt nhỏ nhất) khi chiều cao của thùng gấp đôi bán kính đáy.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Đặt độ dài đáy của thùng là \(r\).
+ Biểu diễn chiều cao theo \(r\), từ đó thu được công thức diện tích của thùng \(S\).
+ Tìm giá trị nhỏ nhất của \(S\).
Lời giải chi tiết
Gọi bán kính đáy của thùng hình trụ là \(r\), \(r > 0\). Khi đó diện tích một đáy hình trụ là \(\pi {r^2}\).
Suy ra chiều cao của hình trụ là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}}\).
Do đó diện tích bề mặt hình trụ là \(S = 2\pi {r^2} + 2\pi r\frac{V}{{\pi {r^2}}} = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r}\)
Xét hàm số \(S = 2\pi {r^2} + \frac{{2V}}{r},r > 0\). Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm \(S\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Ta có \(S' = 4\pi r - \frac{{2V}}{{{r^2}}} = \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}}\) khi đó \(S' = 0 \Leftrightarrow \frac{{4\pi {r^3} - 2V}}{{{r^2}}} = 0 \Leftrightarrow r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\).
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra \(S\) đạt giá trị lớn nhất khi \(r = \sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}\), ta thấy chiều cao hình trụ khi đó là \(\frac{V}{{\pi {r^2}}} = \frac{V}{{\pi {{\left( {\sqrt[3]{{\frac{V}{{2\pi }}}}} \right)}^2}}} = \frac{V}{{\left( {\pi \cdot \frac{{{V^{\frac{2}{3}}}}}{{{{\left( {2\pi } \right)}^{\frac{2}{3}}}}}} \right)}} = \frac{V}{{\frac{{\sqrt[3]{\pi }}}{{\sqrt[3]{4}}} \cdot {V^{\frac{2}{3}}}}} = \frac{{\sqrt[3]{V} \cdot \sqrt[3]{4}}}{{\sqrt[3]{\pi }}} = \frac{{2\sqrt[3]{V}}}{{\sqrt[3]{{2\pi }}}} = 2r\).
Vậy để vật liệu sản xuất thùng ít nhất thì chiều cao gấp đôi bán kính đáy (điều phải chứng minh).
Bài 1.45 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một bài toán cụ thể, thường liên quan đến việc tìm cực trị, khoảng đơn điệu của hàm số.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây. Ví dụ: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)(x+2). Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các bước sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước giải, giải thích rõ ràng và kết quả cuối cùng. Ví dụ:)
Giải phương trình f'(x) = (x-1)(x+2) = 0, ta được x = 1 và x = -2.
Lập bảng xét dấu f'(x):
| x | -∞ | -2 | 1 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | - | + | |
| f(x) | NB | ĐC | TC |
Từ bảng xét dấu, ta thấy:
Khi giải bài tập về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm, học sinh cần chú ý:
Để củng cố kiến thức, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự sau:
Montoan.com.vn hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ hơn về bài 1.45 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
