Chương 4. Nguyên hàm và tích phân

Chương 4: Nguyên hàm và tích phân - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan chi tiết

Chương 4 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức đi sâu vào khái niệm nguyên hàm và tích phân, những công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết các bài toán liên quan đến diện tích, thể tích và sự thay đổi. Chương này không chỉ cung cấp kiến thức lý thuyết mà còn tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng giải bài tập, giúp học sinh làm chủ phương pháp và áp dụng vào các tình huống thực tế.

I. Nguyên hàm

Nguyên hàm là một khái niệm cơ bản trong tích phân. Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) nếu đạo hàm của F(x) bằng f(x), tức là F'(x) = f(x). Việc tìm nguyên hàm là quá trình ngược lại của việc tìm đạo hàm.

1. Định nghĩa nguyên hàm

Nếu F'(x) = f(x) thì F(x) là một nguyên hàm của f(x). Một hàm số f(x) có vô số nguyên hàm, khác nhau ở một hằng số cộng. Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) được gọi là họ nguyên hàm của f(x), ký hiệu là ∫f(x)dx = F(x) + C, trong đó C là hằng số tích phân.

2. Tính chất của nguyên hàm

• ∫[f(x) + g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
• ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx (với k là hằng số)

3. Các nguyên hàm cơ bản

Việc nắm vững các nguyên hàm cơ bản là rất quan trọng để giải các bài toán tích phân phức tạp hơn. Một số nguyên hàm cơ bản bao gồm:

• ∫xⁿdx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C (với n ≠ -1)
• ∫(1/x)dx = ln|x| + C
• ∫e^xdx = e^x + C
• ∫sin(x)dx = -cos(x) + C
• ∫cos(x)dx = sin(x) + C

II. Tích phân

Tích phân là một phép toán ngược của đạo hàm, được sử dụng để tính diện tích dưới đường cong của một hàm số. Có hai loại tích phân chính: tích phân bất định và tích phân xác định.

1. Tích phân bất định

Tích phân bất định là việc tìm nguyên hàm của một hàm số. Kết quả của tích phân bất định là một họ nguyên hàm, được biểu diễn bằng F(x) + C.

2. Tích phân xác định

Tích phân xác định là việc tính diện tích dưới đường cong của một hàm số trong một khoảng xác định [a, b]. Kết quả của tích phân xác định là một số thực, được ký hiệu là ∫_a^bf(x)dx.

3. Các phương pháp tính tích phân

Có nhiều phương pháp để tính tích phân, bao gồm:

• Phương pháp đổi biến số: Sử dụng để đơn giản hóa tích phân bằng cách thay đổi biến số.
• Phương pháp tích phân từng phần: Sử dụng để tính tích phân của tích hai hàm số.
• Phương pháp phân tích thành phân thức đơn giản: Sử dụng để tính tích phân của các hàm số hữu tỉ.

III. Ứng dụng của nguyên hàm và tích phân

Nguyên hàm và tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng trong các lĩnh vực khác nhau, bao gồm:

• Tính diện tích: Tính diện tích của các hình phẳng giới hạn bởi các đường cong.
• Tính thể tích: Tính thể tích của các vật thể tròn xoay.
• Tính độ dài đường cong: Tính độ dài của một đường cong.
• Tính công: Tính công thực hiện bởi một lực.

IV. Bài tập vận dụng

Để nắm vững kiến thức về nguyên hàm và tích phân, bạn cần luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau. Sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức cung cấp một loạt các bài tập với mức độ khó tăng dần, giúp bạn rèn luyện kỹ năng và áp dụng kiến thức vào thực tế.

montoan.com.vn cung cấp lời giải chi tiết cho tất cả các bài tập trong sách bài tập, giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và tự tin giải các bài tập tương tự.

Hy vọng rằng, với những kiến thức và bài tập được cung cấp, bạn sẽ nắm vững chương 4 Nguyên hàm và tích phân và đạt kết quả tốt trong kỳ thi Toán 12 sắp tới!