Giải bài 4.31 trang 19 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức

Giải bài 4.31 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 4.31 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Cụ thể, bài toán thường liên quan đến việc tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng cho trước, hoặc tìm điều kiện để một hàm số đạt được giá trị cực trị.

Phương pháp giải bài toán tối ưu hóa bằng đạo hàm

Để giải quyết bài toán tối ưu hóa bằng đạo hàm, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định hàm số cần tối ưu hóa: Xác định hàm số f(x) biểu diễn đại lượng cần tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.
2. Tìm tập xác định của hàm số: Xác định khoảng hoặc miền giá trị mà x có thể nhận.
3. Tính đạo hàm f'(x): Tính đạo hàm bậc nhất của hàm số f(x).
4. Tìm các điểm dừng: Giải phương trình f'(x) = 0 để tìm các điểm mà đạo hàm bằng 0.
5. Khảo sát dấu của đạo hàm: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định để xác định các khoảng hàm số đồng biến và nghịch biến.
6. Xác định các điểm cực trị: Dựa vào dấu của đạo hàm để xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số.
7. Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị và biên: Tính f(x) tại các điểm cực trị và các điểm biên của tập xác định.
8. So sánh các giá trị và kết luận: So sánh các giá trị f(x) để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên tập xác định.

Giải chi tiết bài 4.31 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức

(Nội dung giải chi tiết bài 4.31 sẽ được trình bày tại đây. Ví dụ, bài toán có thể yêu cầu tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích cho trước sao cho diện tích bề mặt nhỏ nhất. Lời giải sẽ bao gồm việc xây dựng hàm số diện tích bề mặt theo kích thước của hình hộp, tính đạo hàm, tìm điểm dừng, khảo sát dấu của đạo hàm và kết luận về kích thước tối ưu.)

Ví dụ minh họa

Giả sử bài toán yêu cầu tìm giá trị lớn nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x + 5 trên khoảng [0, 3].

1. f'(x) = -2x + 4
2. Giải f'(x) = 0, ta được x = 2
3. Khảo sát dấu của f'(x):
• Khi x < 2, f'(x) > 0, hàm số đồng biến.
• Khi x > 2, f'(x) < 0, hàm số nghịch biến.
4. Vậy x = 2 là điểm cực đại.
5. Tính f(0) = 5, f(2) = 9, f(3) = 8
6. So sánh các giá trị, ta thấy giá trị lớn nhất của hàm số là 9 tại x = 2.

Lưu ý khi giải bài toán tối ưu hóa

• Luôn kiểm tra xem các điểm dừng có thuộc tập xác định của hàm số hay không.
• Chú ý đến các điểm biên của tập xác định, vì giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể xảy ra tại các điểm này.
• Sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định tính chất của các điểm cực trị (cực đại hoặc cực tiểu).

Bài tập tương tự

Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:

• Bài 4.32 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức
• Bài 4.33 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức

Kết luận

Bài 4.31 trang 19 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Việc nắm vững phương pháp giải và thực hành thường xuyên sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong các kỳ thi.