Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 4.24 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán, với đội ngũ giáo viên giàu kinh nghiệm và phương pháp giảng dạy tiên tiến.
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh (Ox): a) (y = 2sqrt x ,{rm{ y}} = 0,{rm{ }}x = 1,{rm{ }}x = 4); b) (y = 4x,{rm{ }}y = {x^3},{rm{ }}x = 0,{rm{ }}x = 2).
Đề bài
Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh \(Ox\):
a) \(y = 2\sqrt x ,{\rm{ y}} = 0,{\rm{ }}x = 1,{\rm{ }}x = 4\);
b) \(y = 4x,{\rm{ }}y = {x^3},{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Sử dụng trực tiếp công thức tính thể tích khối tròn xoay .
Ý b: Tính lần lượt thể tích khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4x,{\rm{ }}y = 0,\)\({\rm{ }}x = 0,\) \(x = 2\) quanh trục Ox và thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quanh trục Ox. Lấy hiệu hai thể tích vừa tính ta tìm được thể tích theo yêu cầu, tuy nhiên ta cần xác định xem lấy thể tích nào trừ thể tích còn lại phụ thuộc vào các đồ thị.
Lời giải chi tiết
a) Thể tích cần tìm là \(V = \pi \int\limits_1^4 {{{\left( {2\sqrt x } \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_1^4 {4xdx} = 2\pi \left. {{x^2}} \right|_1^4 = 32\pi - 2\pi = 30\pi \).
b) Ta có hình vẽ biểu hình phẳng cần tính diện tích như bên dưới.
Ta thấy đồ thị của hàm số \(y = 4x\) nằm phía trên đồ thị \(y = {x^3}\). Do đó thể tích cần tìm sẽ bằng thể tích khối tròn
xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = 4x,{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quanh trục Ox (gọi là \({V_1}\) ) trừ đi thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = {x^3},{\rm{ }}y = 0,{\rm{ }}x = 0,{\rm{ }}x = 2\) quanh trục Ox (gọi là \({V_2}\)).
Ta có \({V_1} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4x} \right)}^2}dx} \) và \({V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}dx} \).
Do đó thể tích cần tìm là
\(V = {V_1} - {V_2} = \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {4x} \right)}^2}dx} - \pi \int\limits_0^2 {{{\left( {{x^3}} \right)}^2}dx} = \pi \int\limits_0^2 {\left( {16{x^2} - {x^6}} \right)dx} \)\( = \pi \left. {\left( {\frac{{16}}{3}{x^3} - \frac{{{x^7}}}{7}} \right)} \right|_0^2 = \frac{{512\pi }}{{21}}\).
Bài 4.24 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học về đạo hàm. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về đạo hàm của hàm số, đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương của các hàm số, và quy tắc đạo hàm của hàm hợp để giải quyết các bài toán cụ thể.
Bài 4.24 thường bao gồm các dạng bài tập sau:
Để giải bài tập 4.24 một cách hiệu quả, các em cần nắm vững các kiến thức sau:
Ví dụ: Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x3 + 2x2 - 5x + 1.
Giải:
f'(x) = (x3)' + (2x2)' - (5x)' + (1)'
f'(x) = 3x2 + 4x - 5 + 0
f'(x) = 3x2 + 4x - 5
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau:
Bài 4.24 trang 17 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em hiểu sâu hơn về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong giải toán. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải hiệu quả mà Montoan.com.vn cung cấp, các em sẽ tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
Hàm số | Đạo hàm |
---|---|
f(x) = xn | f'(x) = nxn-1 |
f(x) = sin(x) | f'(x) = cos(x) |
f(x) = cos(x) | f'(x) = -sin(x) |