Bài 16. Công thức tích góc trong không gian

Bài 16: Công thức tích góc trong không gian - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 16 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc nghiên cứu công thức tích vô hướng và ứng dụng của nó trong việc tính góc giữa hai vectơ trong không gian. Đây là một phần quan trọng của chương trình học, giúp học sinh nắm vững kiến thức về hình học không gian và các phép toán vectơ.

I. Tích vô hướng của hai vectơ

Tích vô hướng của hai vectơ a = (a₁, a₂, a₃) và b = (b₁, b₂, b₃) được định nghĩa là:

a ⋅ b = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Tích vô hướng có tính chất giao hoán: a ⋅ b = b ⋅ a

Tích vô hướng có tính chất phân phối: a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c

II. Mối liên hệ giữa tích vô hướng và góc giữa hai vectơ

Nếu a và b là hai vectơ khác 0, và θ là góc giữa chúng, thì:

a ⋅ b = |a||b|cosθ

Từ đó, ta có thể tính góc θ giữa hai vectơ bằng công thức:

cosθ = (a ⋅ b) / (|a||b|)

III. Ứng dụng của công thức tích vô hướng

Công thức tích vô hướng được sử dụng để:

• Tính góc giữa hai vectơ trong không gian.
• Xác định hai vectơ vuông góc (khi tích vô hướng bằng 0).
• Kiểm tra tính vuông góc của hai đường thẳng, hai mặt phẳng.
• Tính hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.

IV. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai vectơ a = (1, 2, 3) và b = (-2, 1, 0). Tính góc θ giữa hai vectơ này.

Giải:

a ⋅ b = (1)(-2) + (2)(1) + (3)(0) = -2 + 2 + 0 = 0

|a| = √(1² + 2² + 3²) = √14

|b| = √((-2)² + 1² + 0²) = √5

cosθ = 0 / (√14 * √5) = 0

θ = 90°

Vậy, góc giữa hai vectơ a và b là 90°.

Ví dụ 2: Cho điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tính góc α tạo bởi vectơ AB và trục Ox.

Giải:

Vectơ AB = (4-1, 5-2, 6-3) = (3, 3, 3)

Vectơ đơn vị trên trục Ox là i = (1, 0, 0)

AB ⋅ i = (3)(1) + (3)(0) + (3)(0) = 3

|AB| = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

|i| = 1

cosα = 3 / (3√3 * 1) = 1/√3

α = arccos(1/√3) ≈ 54.7°

V. Bài tập luyện tập

1. Cho hai vectơ a = (2, -1, 1) và b = (1, 3, -2). Tính tích vô hướng của hai vectơ này.
2. Cho hai vectơ u = (1, 0, -1) và v = (2, 1, 1). Tính góc giữa hai vectơ này.
3. Cho A(2, 3, 1) và B(5, 1, -2). Tính góc tạo bởi vectơ AB và trục Oy.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về công thức tích góc trong không gian và cách ứng dụng nó trong giải toán. Chúc các em học tập tốt!