THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1.49 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan.
Montoan cam kết cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn luyện môn Toán.
a) Nếu \(C\left( x \right)\) (USD) là chi phí sản xuất \(x\) đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình. b) Nếu \(C\left( x \right) = 16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}\), hãy tìm: (i) Chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên khi sản xuất \(100\) đơn vị hàng hóa; (ii) Mức sản xuất mà khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bì
Đề bài
a) Nếu \(C\left( x \right)\) (USD) là chi phí sản xuất \(x\) đơn vị hàng hóa, thì chi phí trung bình cho mỗi đơn vị là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\). Chứng minh rằng nếu chi phí trung bình là nhỏ nhất thì chi phí biên bằng chi phí trung bình.
b) Nếu \(C\left( x \right) = 16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}\), hãy tìm:
(i) Chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên khi sản xuất \(100\) đơn vị hàng hóa;
(ii) Mức sản xuất mà khi đó sẽ giảm thiểu chi phí trung bình;
(iii) Chi phí trung bình nhỏ nhất.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Tính \(\overline {C'} \left( x \right)\), sử dụng ý nghĩa của cực tiểu để chứng minh.
Ý b: Xác định công thức các hàm \(\overline C \left( x \right)\), \(C'\left( x \right)\).
(i) Thay \(x = 100\) vào các hàm \(C\left( x \right)\), \(\overline C \left( x \right)\), \(C'\left( x \right)\).
(ii) Khảo sát sự biến thiên của hàm \(\overline C \left( x \right)\), xác định khoảng mà hàm nghịch biến từ đó ruy ra mức sản xuất x.
(iii) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \(\overline C \left( x \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Ta có \(\overline {C'} \left( x \right) = {\left[ {\frac{{C\left( x \right)}}{x}} \right]^\prime } = \frac{{C'\left( x \right) \cdot x - C\left( x \right)}}{{{x^2}}}\).
Chi phí trung bình nhỏ nhất khi \(\overline {C'} \left( x \right) = 0\) hay \(C'\left( x \right) \cdot x - C\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow C'\left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x}\).
Nói cách khác chi phí biên bằng chi phí trung bình.
b) Xét hàm số \(C\left( x \right) = 16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}\).
Ta có hàm chi phí trung bình là \(\overline C \left( x \right) = \frac{{C\left( x \right)}}{x} = \frac{{16000 + 200x + 4{x^{\frac{3}{2}}}}}{x} = \frac{{16000}}{x} + 200 + 4{x^{\frac{1}{2}}}\).
Hàm chi phí biên là \(C'\left( x \right) = 200 + 6{x^{\frac{1}{2}}}\).
(i) Ta có \(C\left( {100} \right) = 16000 + 200 \cdot 100 + 4 \cdot {100^{\frac{3}{2}}} = 40000\); \(\overline C \left( {100} \right) = \frac{{16000}}{{100}} + 200 + 4 \cdot {100^{\frac{1}{2}}} = 400\);
\(C'\left( {100} \right) = 200 + 6 \cdot {100^{\frac{1}{2}}} = 260\).
Vậy chi phí, chi phí trung bình và chi phí biên ở mức sản xuất 100 đơn vị hàng hóa lần lượt là \(40000\) USD, \(400\) USD và \(260\) USD.
(ii) Ta có \(\overline {C'} \left( x \right) = \frac{{ - 16000}}{{{x^2}}} + 2{x^{ - \frac{1}{2}}}\) khi đó \(\overline {C'} \left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 16000}}{{{x^2}}} + 2{x^{ - \frac{1}{2}}} = 0 \Leftrightarrow x = 400\) do \(x > 0\).
Lập bảng biến thiên
Từ bảng biến thiên suy ra, mức sản xuất là 400 đơn vị hàng hóa thì sẽ giảm thiểu giá trị trung bình.
(iii) Chi phí trung bình nhỏ nhất là 320 USD.
Bài 1.49 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Để giải bài tập này một cách hiệu quả, học sinh cần nắm vững các khái niệm cơ bản như đạo hàm, điều kiện cần và đủ để hàm số đạt cực trị, và cách xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
Bài tập 1.49 thường yêu cầu học sinh thực hiện các công việc sau:
Để giải bài 1.49 trang 32, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Tập xác định: D = R
Bước 2: Đạo hàm: y' = 3x^2 - 6x
Bước 3: Tìm cực trị: 3x^2 - 6x = 0 => x = 0 hoặc x = 2
Xét dấu y':
Vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0, y = 2 và đạt cực tiểu tại x = 2, y = -2.
Bước 4: Tính đơn điệu: Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0) và (2, +∞), nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Bước 5: Vẽ đồ thị: Dựa vào các thông tin trên, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số.
Đạo hàm có rất nhiều ứng dụng trong thực tế, ví dụ như:
Hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về bài 1.49 trang 32 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Chúc các em học tập tốt!
