Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Bài 2. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức

Bài 2 trong SBT Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số. Đây là một chủ đề quan trọng, không chỉ trong chương trình học phổ thông mà còn là nền tảng cho các kiến thức toán học nâng cao.

I. Khái niệm cơ bản

1. Giá trị lớn nhất của hàm số trên một khoảng: Hàm số f(x) đạt giá trị lớn nhất trên khoảng (a, b) tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≥ f(x) với mọi x thuộc (a, b).

2. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Hàm số f(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên khoảng (a, b) tại điểm x₀ nếu f(x₀) ≤ f(x) với mọi x thuộc (a, b).

II. Phương pháp tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

1. Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.
2. Bước 2: Tính đạo hàm f'(x).
3. Bước 3: Tìm các điểm tới hạn: Giải phương trình f'(x) = 0 và tìm các điểm x mà f'(x) không xác định.
4. Bước 4: Lập bảng biến thiên: Xác định dấu của f'(x) trên các khoảng xác định bởi các điểm tới hạn.
5. Bước 5: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: Dựa vào bảng biến thiên, xác định các điểm cực đại, cực tiểu và giá trị tương ứng. So sánh các giá trị này với giá trị của hàm số tại các điểm biên của khoảng (nếu có) để tìm ra giá trị lớn nhất và nhỏ nhất.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x³ - 3x² + 2 trên đoạn [-1; 3].

Giải:

• Tập xác định: [-1; 3]
• f'(x) = 3x² - 6x
• f'(x) = 0 ⇔ 3x² - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
• Bảng biến thiên:

  x	-1	0	2	3
  f'(x)	+	-	+	+
  f(x)	0	2	-2	8

• Kết luận: Hàm số đạt giá trị lớn nhất là 8 tại x = 3 và giá trị nhỏ nhất là -2 tại x = 2.

IV. Lưu ý quan trọng

Khi tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a; b], cần kiểm tra cả giá trị của hàm số tại các điểm biên a và b. Đôi khi, giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất có thể xảy ra tại một trong các điểm biên này.

Việc hiểu rõ khái niệm đạo hàm và bảng biến thiên là rất quan trọng để giải quyết các bài toán về giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một cách hiệu quả.

Bài tập rèn luyện thường xuyên sẽ giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán trong chủ đề này.

V. Bài tập vận dụng

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = -x² + 4x - 1 trên đoạn [0; 3].
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = x⁴ - 2x² + 3 trên tập số thực.