Bài 3. Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận là một khái niệm quan trọng trong việc nghiên cứu đồ thị hàm số. Hiểu rõ về đường tiệm cận giúp chúng ta phác thảo chính xác hình dạng của đồ thị và dự đoán hành vi của hàm số khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

1. Khái niệm đường tiệm cận

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số y = f(x) là đường thẳng mà đồ thị của hàm số tiến gần đến khi x hoặc y tiến tới vô cùng.

Tiệm cận đứng: Đường thẳng x = a là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→a⁺ f(x) = ±∞ hoặc lim_x→a^- f(x) = ±∞.
Tiệm cận ngang: Đường thẳng y = b là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ f(x) = b hoặc lim_x→-∞ f(x) = b.
Tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b (với a ≠ 0) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số y = f(x) nếu lim_x→+∞ [f(x) - (ax + b)] = 0 hoặc lim_x→-∞ [f(x) - (ax + b)] = 0.

2. Phương pháp tìm đường tiệm cận

Để tìm đường tiệm cận của đồ thị hàm số, ta thực hiện các bước sau:

Tìm tiệm cận đứng: Xác định các giá trị x mà mẫu số của hàm số bằng 0 và kiểm tra giới hạn của hàm số tại các giá trị đó.
Tìm tiệm cận ngang: Tính giới hạn của hàm số khi x tiến tới +∞ và -∞.
Tìm tiệm cận xiên: Tính a = lim_x→+∞ f(x)/x và b = lim_x→+∞ [f(x) - ax]. Nếu a ≠ 0, thì y = ax + b là tiệm cận xiên.

3. Ví dụ minh họa

Xét hàm số y = (2x + 1) / (x - 1).

Tiệm cận đứng: x = 1 (vì mẫu số bằng 0 khi x = 1).
Tiệm cận ngang: y = 2 (vì lim_x→+∞ (2x + 1) / (x - 1) = 2).
Tiệm cận xiên: Không có (vì không tồn tại giới hạn a).

4. Bài tập áp dụng

Hãy tìm đường tiệm cận của các hàm số sau:

y = (x + 2) / (x - 3)
y = (3x² + 1) / (x² - 4)
y = (x³ + 2x) / (x² + 1)

5. Lưu ý quan trọng

Không phải hàm số nào cũng có đường tiệm cận. Một số hàm số có thể không có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang hoặc tiệm cận xiên. Việc xác định đúng loại đường tiệm cận và phương trình của nó đòi hỏi sự hiểu biết vững chắc về giới hạn và các tính chất của hàm số.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về đường tiệm cận của đồ thị hàm số. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập liên quan.