THCS
THCS
Bài 1.29 trang 20 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế.
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài 1.29 này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin làm bài tập.
Cho hàm số (y = fleft( x right) = frac{{x + 2}}{{x - 3}}) có đồ thị (left( C right)). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm (left( {x;y} right) in left( C right)), với (x > 3) tới hai đường tiệm cận của (left( C right)) là (gleft( x right)). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (y = gleft( x right)).
Đề bài
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{x + 2}}{{x - 3}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Gọi tổng khoảng cách từ một điểm \(\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\), với \(x > 3\) tới hai đường tiệm cận của \(\left( C \right)\) là \(g\left( x \right)\). Tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = g\left( x \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\).
+ Tìm tổng khoảng cách từ một điểm bất kỳ của đồ thị đến hai đường tiệm cận ta có được công thức của \(g\left( x \right)\), chú ý điều kiện \(x > 3\).
+ Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right)\) bằng cách tính giới hạn.
Lời giải chi tiết
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x + 2}}{{x - 3}} = 1\). Do đó đường thẳng \(y = 1\) là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
Giả sử điểm \(M\left( {x;y} \right) \in \left( C \right)\) suy ra \(M\left( {x;\frac{{x + 2}}{{x - 3}}} \right)\). Khi đó khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x = 3\) là \({d_1} = \left| {x - 3} \right|\), khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 1\) là \({d_2} = \left| {\frac{{x + 2}}{{x - 3}} - 1} \right| = \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}}\).
Ta có \(g\left( x \right) = {d_1} + {d_2} = \left| {x - 3} \right| + \frac{5}{{\left| {x - 3} \right|}} = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}\), vì \(x > 3\).
Ta sẽ tìm các đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}\).
Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} \left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) = - \infty \). Do đó đường thẳng \(x = 3\) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số; \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\left( {x - 3 + \frac{5}{{x - 3}}} \right) - \left( {x - 3} \right)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{5}{{x - 3}} = 0\), suy ra đường thẳng \(y = x - 3\) là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Vậy \(g\left( x \right)\) với \(x > 3\) có một tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = 3\) và một tiệm cận xiên là đường thẳng \(y = x - 3\).
Bài 1.29 thuộc chương trình Toán 12, sách Kết nối tri thức, tập trung vào việc ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán liên quan đến tốc độ thay đổi của đại lượng. Bài toán này thường yêu cầu học sinh xác định đạo hàm, tìm điểm cực trị, và phân tích sự biến thiên của hàm số.
Bài 1.29 thường có dạng như sau: Một vật chuyển động theo phương trình s(t), trong đó s là quãng đường đi được và t là thời gian. Yêu cầu là tìm vận tốc và gia tốc của vật tại một thời điểm cụ thể, hoặc xác định thời điểm vật đạt vận tốc cực đại/cực tiểu.
Để giải bài 1.29, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
(Giả sử bài toán cụ thể là: Cho một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t3 - 6t2 + 9t + 2, trong đó s tính bằng mét và t tính bằng giây. Tìm vận tốc và gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 giây.)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: v(t) = s'(t)
v(t) = d/dt (t3 - 6t2 + 9t + 2) = 3t2 - 12t + 9
Gia tốc là đạo hàm của vận tốc theo thời gian: a(t) = v'(t)
a(t) = d/dt (3t2 - 12t + 9) = 6t - 12
v(2) = 3(2)2 - 12(2) + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 m/s
a(2) = 6(2) - 12 = 12 - 12 = 0 m/s2
Kết luận: Tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc của vật là -3 m/s và gia tốc của vật là 0 m/s2.
Ngoài bài 1.29, học sinh có thể gặp các bài tập tương tự với các phương trình chuyển động khác nhau. Các bài tập này thường yêu cầu:
Khi giải các bài tập về đạo hàm và ứng dụng, học sinh cần chú ý:
Học sinh có thể tham khảo thêm các tài liệu sau để nắm vững kiến thức về đạo hàm và ứng dụng:
Bài 1.29 trang 20 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng áp dụng đạo hàm vào giải quyết các bài toán thực tế. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi làm bài tập và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
