Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Giải pháp chi tiết

Bài 5 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán có tính ứng dụng cao trong thực tiễn. Đây là một phần quan trọng giúp học sinh hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa toán học và đời sống.

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

Trước khi đi vào giải bài tập, chúng ta cần nắm vững các kiến thức lý thuyết sau:

• Đạo hàm và ứng dụng: Đạo hàm được sử dụng để tìm cực trị của hàm số, xét tính đơn điệu của hàm số và giải các bài toán tối ưu.
• Bài toán tối ưu: Các bài toán tối ưu thường yêu cầu tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của một hàm số trong một khoảng xác định.
• Ứng dụng trong kinh tế: Đạo hàm được sử dụng để tính chi phí biên, doanh thu biên và lợi nhuận biên.
• Ứng dụng trong vật lý: Đạo hàm được sử dụng để tính vận tốc, gia tốc và các đại lượng liên quan đến chuyển động.

II. Giải bài tập SBT Toán 12 Kết nối tri thức Bài 5

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài tập trong SBT Toán 12 Kết nối tri thức Bài 5:

Bài 5.1

Đề bài: Một công ty sản xuất x sản phẩm với chi phí sản xuất là C(x) = 2x² + 3x + 5 (triệu đồng). Tìm số sản phẩm x để chi phí sản xuất là thấp nhất.

Lời giải:

1. Tính đạo hàm của hàm số C(x): C'(x) = 4x + 3
2. Tìm điểm dừng của hàm số: C'(x) = 0 => 4x + 3 = 0 => x = -3/4
3. Vì số sản phẩm x phải là số không âm, ta xét x = 0.
4. Tính C''(x) = 4 > 0, do đó hàm số C(x) đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 0.
5. Vậy, chi phí sản xuất là thấp nhất khi công ty không sản xuất sản phẩm nào (x = 0).

Bài 5.2

Đề bài: Một người nông dân có 100m hàng rào để rào một khu vườn hình chữ nhật. Tìm kích thước của khu vườn để diện tích là lớn nhất.

Lời giải:

1. Gọi chiều dài và chiều rộng của khu vườn lần lượt là x và y.
2. Chu vi của khu vườn là 2(x + y) = 100 => x + y = 50 => y = 50 - x
3. Diện tích của khu vườn là S(x) = x * y = x * (50 - x) = 50x - x²
4. Tính đạo hàm của hàm số S(x): S'(x) = 50 - 2x
5. Tìm điểm dừng của hàm số: S'(x) = 0 => 50 - 2x = 0 => x = 25
6. Tính S''(x) = -2 < 0, do đó hàm số S(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 25.
7. Khi x = 25, y = 50 - 25 = 25.
8. Vậy, kích thước của khu vườn để diện tích là lớn nhất là 25m x 25m.

III. Luyện tập thêm

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải thêm các bài tập sau:

• Bài 5.3, 5.4, 5.5 trong SBT Toán 12 Kết nối tri thức.
• Các bài tập tương tự về bài toán tối ưu.

IV. Kết luận

Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững kiến thức lý thuyết và luyện tập thường xuyên sẽ giúp các em giải quyết các bài toán thực tế một cách hiệu quả.

Montoan.com.vn hy vọng rằng với lời giải chi tiết và hướng dẫn cụ thể này, các em sẽ học tập tốt môn Toán 12 và đạt được kết quả cao trong các kỳ thi.