Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian

Bài 7. Hệ trục tọa độ trong không gian - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Giải pháp chi tiết

Bài 7 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz. Đây là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán về vectơ, mặt phẳng, đường thẳng trong không gian, và là bước đệm cho các kiến thức hình học giải tích nâng cao.

1. Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz

Hệ trục tọa độ trong không gian Oxyz được xác định bởi ba trục vuông góc nhau Ox, Oy, Oz, gốc O là điểm chung của ba trục. Mỗi điểm M trong không gian được xác định duy nhất bởi bộ ba số thực (x, y, z), gọi là tọa độ của điểm M. x, y, z lần lượt là hoành độ, tung độ, cao độ của điểm M.

Công thức quan trọng:

• Khoảng cách giữa hai điểm M(x₁, y₁, z₁) và N(x₂, y₂, z₂): d(M, N) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)
• Trung điểm I của đoạn thẳng MN: I((x₁ + x₂)/2, (y₁ + y₂)/2, (z₁ + z₂)/2)

2. Vectơ trong không gian

Vectơ trong không gian được biểu diễn bằng bộ bốn số thực (x, y, z, t), trong đó (x, y, z) là tọa độ của điểm cuối và t là hệ số tỉ lệ. Hai vectơ được coi là bằng nhau nếu chúng có cùng tọa độ.

Các phép toán vectơ:

• Phép cộng vectơ: (x₁, y₁, z₁) + (x₂, y₂, z₂) = (x₁ + x₂, y₁ + y₂, z₁ + z₂)
• Phép nhân vectơ với một số thực: k(x, y, z) = (kx, ky, kz)

3. Ứng dụng của hệ trục tọa độ trong không gian

Hệ trục tọa độ trong không gian có nhiều ứng dụng trong thực tế, như:

• Xác định vị trí của các vật thể trong không gian.
• Tính toán khoảng cách giữa các vật thể.
• Mô tả quỹ đạo chuyển động của các vật thể.
• Giải quyết các bài toán hình học không gian.

4. Bài tập minh họa

Bài tập 1: Cho hai điểm A(1, 2, 3) và B(4, 5, 6). Tính độ dài đoạn thẳng AB.

Giải: d(A, B) = √((4 - 1)² + (5 - 2)² + (6 - 3)²) = √(3² + 3² + 3²) = √27 = 3√3

Bài tập 2: Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB với A(2, -1, 0) và B(0, 3, -2).

Giải: I((2 + 0)/2, (-1 + 3)/2, (0 - 2)/2) = (1, 1, -1)

5. Luyện tập và củng cố kiến thức

Để nắm vững kiến thức về hệ trục tọa độ trong không gian, các em nên luyện tập thêm các bài tập trong sách bài tập và các tài liệu tham khảo khác. Hãy chú trọng vào việc hiểu rõ các công thức và vận dụng chúng một cách linh hoạt trong các bài toán cụ thể.

montoan.com.vn hy vọng rằng bài viết này đã cung cấp cho các em những kiến thức hữu ích và giúp các em tự tin hơn trong việc giải quyết các bài toán về hệ trục tọa độ trong không gian. Chúc các em học tập tốt!