THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan.
Montoan cam kết cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn thi môn Toán.
Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {2m - 3} right)x + frac{2}{3}). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2). b) Tìm (m) để hàm số có hai điểm cực trị ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 5). c) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên (mathbb{R}). d) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } right)).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + \frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
b) Tìm \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Thay \(m = 2\) và hàm số sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,
Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, tìm điều kiện để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\), sử dụng định lý Viète mà một số biến đổi cơ bản để giải ra m.
Ý c: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\). Sử dụng kiến thức về dấu, nghiệm của tam thức bậc hai để làm.
Ý d: Kết hợp với bảng biến thiên để giải bài toán, lưu ý xét hết các trường hợp.
Lời giải chi tiết
a) Khi \(m = 2\) hàm số trở thành \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x + \frac{2}{3}\).
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
+ Sự biến thiên:
Ta có \(y' = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Để hàm số có hai cực trị thì đạo hàm \(y'\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\), tức là \(3 - 2m \ne - 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)
Để \(x_1^2 + x_2^2 = 5\) thì \({\left( {3 - 2m} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow m \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right\}\).
c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Ta có \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 - 2m = - 1 \Leftrightarrow m = 2\).
d) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Trường hợp 1: \( - 1 \le 3 - 2m \Leftrightarrow m \le 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(3 - 2m \le 1 \Leftrightarrow m \ge 1\). Suy ra \(1 \le m < 2\)
Trường hợp 2: \(3 - 2m < - 1 \Leftrightarrow m > 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên trường hợp này ta có \(m > 2\).
Vậy \(m \ge 1\).
Bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về Đạo hàm của hàm số hợp. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản, đặc biệt là quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước để giải bài tập này:
Đề bài: (Đề bài cụ thể của bài 1.63 sẽ được trình bày đầy đủ tại đây)
Yêu cầu: (Yêu cầu cụ thể của bài 1.63 sẽ được trình bày đầy đủ tại đây)
(Giải chi tiết từng bước của bài 1.63, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng quy tắc đạo hàm, và kết luận. Giải thích rõ ràng từng bước để học sinh dễ hiểu.)
Ví dụ minh họa:
Giả sử đề bài yêu cầu tính đạo hàm của hàm số y = sin(x2 + 1). Ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
Đạo hàm hàm hợp có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ cách giải bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
