Giải bài 1.63 trang 36 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan.
Montoan cam kết cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu, giúp các em tự tin hơn trong quá trình học tập và ôn thi môn Toán.
Cho hàm số (y = frac{1}{3}{x^3} + left( {m - 1} right){x^2} + left( {2m - 3} right)x + frac{2}{3}). a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi (m = 2). b) Tìm (m) để hàm số có hai điểm cực trị ({x_1}) và ({x_2}) thỏa mãn (x_1^2 + x_2^2 = 5). c) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên (mathbb{R}). d) Tìm (m) để hàm số đồng biến trên khoảng (left( {1; + infty } right)).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + \left( {m - 1} \right){x^2} + \left( {2m - 3} \right)x + \frac{2}{3}\).
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi \(m = 2\).
b) Tìm \(m\) để hàm số có hai điểm cực trị \({x_1}\) và \({x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\).
c) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
d) Tìm \(m\) để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Thay \(m = 2\) và hàm số sau đó khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số,
Ý b: Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị, tìm điều kiện để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 = 5\), sử dụng định lý Viète mà một số biến đổi cơ bản để giải ra m.
Ý c: Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\). Sử dụng kiến thức về dấu, nghiệm của tam thức bậc hai để làm.
Ý d: Kết hợp với bảng biến thiên để giải bài toán, lưu ý xét hết các trường hợp.
Lời giải chi tiết
a) Khi \(m = 2\) hàm số trở thành \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} + x + \frac{2}{3}\).
Tập xác định: \(\mathbb{R}\).
+ Sự biến thiên:
Ta có \(y' = {x^2} + 2x + 1 = {\left( {x + 1} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\).
Suy ra hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị.
Lập bảng biến thiên:
+ Đồ thị: Đồ thị nhận \(\left( { - 1;\frac{1}{3}} \right)\) làm tâm đối xứng.
b) Ta có \(y' = {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3\).
Khi đó \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Để hàm số có hai cực trị thì đạo hàm \(y'\) phải có hai nghiệm phân biệt \({x_1};{x_2}\), tức là \(3 - 2m \ne - 1 \Leftrightarrow m \ne 2\)
Để \(x_1^2 + x_2^2 = 5\) thì \({\left( {3 - 2m} \right)^2} + 1 = 5 \Leftrightarrow m \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{5}{2}} \right\}\).
c) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) khi \(y' \ge 0\forall x \in \mathbb{R}\).
Ta có \({x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x + 2m - 3 \ge 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 > 0\\\Delta ' \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 - 2m = - 1 \Leftrightarrow m = 2\).
d) Ta có \(y' = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 3 - 2m\).
Trường hợp 1: \( - 1 \le 3 - 2m \Leftrightarrow m \le 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\) thì \(3 - 2m \le 1 \Leftrightarrow m \ge 1\). Suy ra \(1 \le m < 2\)
Trường hợp 2: \(3 - 2m < - 1 \Leftrightarrow m > 2\). Khi đó ta có bảng biến thiên:
Ta thấy hàm số luôn đồng biến trên \(\left( {1; + \infty } \right)\) nên trường hợp này ta có \(m > 2\).
Vậy \(m \ge 1\).
Giải bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết
Bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về Đạo hàm của hàm số hợp. Để giải bài này, học sinh cần nắm vững các quy tắc đạo hàm cơ bản, đặc biệt là quy tắc đạo hàm của hàm hợp. Dưới đây là hướng dẫn chi tiết từng bước để giải bài tập này:
Phần 1: Đề bài và yêu cầu
Đề bài: (Đề bài cụ thể của bài 1.63 sẽ được trình bày đầy đủ tại đây)
Yêu cầu: (Yêu cầu cụ thể của bài 1.63 sẽ được trình bày đầy đủ tại đây)
Phần 2: Kiến thức cần nắm vững
- Đạo hàm của hàm số: Hiểu rõ khái niệm đạo hàm và các quy tắc đạo hàm cơ bản (đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương, hàm hợp).
- Quy tắc đạo hàm của hàm hợp: Nếu y = f(u) và u = g(x) thì dy/dx = (dy/du) * (du/dx).
- Đạo hàm của các hàm số lượng giác: Nắm vững đạo hàm của sinx, cosx, tanx, cotx.
- Đạo hàm của hàm mũ và hàm logarit: Nắm vững đạo hàm của ex, ax, logax.
Phần 3: Giải bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức
(Giải chi tiết từng bước của bài 1.63, bao gồm các bước biến đổi, áp dụng quy tắc đạo hàm, và kết luận. Giải thích rõ ràng từng bước để học sinh dễ hiểu.)
Ví dụ minh họa:
Giả sử đề bài yêu cầu tính đạo hàm của hàm số y = sin(x2 + 1). Ta sẽ áp dụng quy tắc đạo hàm của hàm hợp:
- Đặt u = x2 + 1
- Khi đó, y = sin(u)
- dy/du = cos(u)
- du/dx = 2x
- Vậy, dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = cos(x2 + 1) * 2x = 2x * cos(x2 + 1)
Phần 4: Luyện tập và bài tập tương tự
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự sau:
- Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số y = cos(2x + 3)
- Bài tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = ex2
- Bài tập 3: Tính đạo hàm của hàm số y = log2(x + 1)
Phần 5: Lưu ý khi giải bài tập về đạo hàm hàm hợp
- Xác định đúng hàm trong và hàm ngoài: Đây là bước quan trọng để áp dụng đúng quy tắc đạo hàm.
- Tính đạo hàm của từng hàm một cách chính xác: Sử dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản một cách cẩn thận.
- Biến đổi biểu thức một cách hợp lý: Đơn giản hóa biểu thức để dễ dàng tính toán.
- Kiểm tra lại kết quả: Đảm bảo kết quả cuối cùng là chính xác.
Phần 6: Ứng dụng của đạo hàm hàm hợp
Đạo hàm hàm hợp có nhiều ứng dụng trong toán học và các lĩnh vực khác, bao gồm:
- Tìm cực trị của hàm số: Đạo hàm hàm hợp được sử dụng để tìm các điểm cực trị của hàm số.
- Khảo sát hàm số: Đạo hàm hàm hợp giúp xác định tính đơn điệu, khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Giải các bài toán tối ưu: Đạo hàm hàm hợp được sử dụng để giải các bài toán tối ưu trong kinh tế, kỹ thuật.
Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ cách giải bài 1.63 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức và tự tin hơn trong quá trình học tập. Chúc các em học tốt!
