THCS
THCS
Bài 1.34 trang 25 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học Toán 12, tập trung vào việc rèn luyện kỹ năng về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết, dễ hiểu bài tập này, giúp các em học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Chúng tôi cung cấp không chỉ đáp án mà còn cả phương pháp giải, các lưu ý quan trọng và các ví dụ minh họa để đảm bảo các em hiểu rõ bản chất của bài toán.
Cho hàm số (y = fleft( x right)) có đạo hàm (f'left( x right)) xác định trên (mathbb{R}) và (f'left( x right)) có đồ thị như hình vẽ sau: Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số (y = fleft( x right)).
Đề bài
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ sau:
Tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và các điểm cực trị của hàm số \(y = f\left( x \right)\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Từ đồ thị của đạo hàm tìm \(x\) để đạo hàm bằng \(0\) (các giao điểm của đồ thị và trục
hoành).
+ Xét dấu đạo hàm (quan sát đồ thị, phần đồ thị phía trên trục hoành nhận giá trị dương, dưới trục hoành nhận giá trị âm, xác định các khoảng của x thỏa mãn từng phần). Từ đó xác định các khoảng đồng biến, nghịch biến.
+ Lập bảng biến thiên. Từ bảng biến thiên suy ra cực trị.
Lời giải chi tiết
Từ đồ thị của hàm \(f'\left( x \right)\) ta có \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = - 1\) hoặc \(x = 2\).
Ta có \(f'\left( x \right) > 0\) với mọi \(x \in \left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(x \in \left( {2; + \infty } \right)\) do đó \(f\left( x \right)\) đồng biến trên từng khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\); \(f'\left( x \right) < 0\) với mọi \(x \in \left( { - 1;2} \right)\) do đó \(f\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\).
Lập bảng biến thiên
Hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\), đạt cực tiểu tại \(x = 2\).
Bài 1.34 trang 25 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết một bài toán thực tế liên quan đến việc tối ưu hóa. Để giải bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
Bài 1.34 thường liên quan đến các bài toán tối ưu hóa hình học, ví dụ như tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích cho trước mà chu vi nhỏ nhất, hoặc tìm kích thước của một hình hộp chữ nhật có thể tích cho trước mà diện tích bề mặt nhỏ nhất. Việc hiểu rõ mối quan hệ giữa các đại lượng và biểu diễn chúng bằng hàm số là bước quan trọng nhất để giải quyết bài toán.
Giả sử bài toán yêu cầu tìm kích thước của một hình chữ nhật có diện tích là 100 cm2 sao cho chu vi nhỏ nhất. Ta có thể biểu diễn chu vi của hình chữ nhật theo chiều dài và chiều rộng như sau: P = 2(x + y), trong đó x là chiều dài và y là chiều rộng. Vì diện tích là 100 cm2, ta có x * y = 100, suy ra y = 100/x. Thay y vào công thức tính chu vi, ta được P(x) = 2(x + 100/x). Để tìm giá trị nhỏ nhất của P(x), ta tính đạo hàm P'(x) = 2(1 - 100/x2). Giải phương trình P'(x) = 0, ta được x = 10. Khi đó, y = 100/10 = 10. Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh 10 cm.
Các bài toán tối ưu hóa như bài 1.34 có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, từ việc thiết kế sản phẩm, quản lý kinh doanh đến các bài toán khoa học kỹ thuật. Việc nắm vững phương pháp giải các bài toán này giúp chúng ta có thể giải quyết các vấn đề thực tế một cách hiệu quả.
Để hiểu sâu hơn về các bài toán tối ưu hóa, các em có thể tìm hiểu thêm về các phương pháp tối ưu hóa khác như phương pháp sử dụng bất đẳng thức, phương pháp hình học, và phương pháp sử dụng đạo hàm cấp hai để xác định điểm cực trị. Ngoài ra, các em cũng nên luyện tập thêm nhiều bài tập tương tự để rèn luyện kỹ năng và nâng cao khả năng giải quyết vấn đề.
Bài 1.34 trang 25 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán tối ưu hóa. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và ví dụ minh họa trên, các em sẽ tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự một cách hiệu quả.
