Bài 14. Phương trình mặt phẳng

Bài 14. Phương trình mặt phẳng - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Hướng dẫn chi tiết và bài tập giải

Bài 14 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc xây dựng và ứng dụng phương trình mặt phẳng trong không gian. Đây là một phần quan trọng trong chương trình học về phương pháp tọa độ trong không gian, giúp học sinh hiểu rõ hơn về các khái niệm và công cụ toán học để mô tả và phân tích các đối tượng hình học trong không gian ba chiều.

I. Lý thuyết cơ bản về phương trình mặt phẳng

1. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi một điểm thuộc mặt phẳng và một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Vectơ pháp tuyến là vectơ vuông góc với mọi vectơ nằm trong mặt phẳng.

2. Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Phương trình tổng quát của mặt phẳng có dạng Ax + By + Cz + D = 0, trong đó (A, B, C) là tọa độ của vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.

3. Các dạng phương trình khác của mặt phẳng:

Phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có vectơ pháp tuyến cho trước.
Phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm không thẳng hàng.
Phương trình mặt phẳng chắn các đoạn bằng nhau trên các trục tọa độ.

II. Các bài toán thường gặp và phương pháp giải

1. Xác định phương trình mặt phẳng:

Cho trước một điểm và vectơ pháp tuyến.
Cho trước ba điểm không thẳng hàng.
Cho trước các yếu tố hình học khác (ví dụ: khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng).

2. Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng: Thay tọa độ của đường thẳng vào phương trình mặt phẳng để tìm ra điểm giao.

3. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: Giải hệ phương trình tuyến tính tạo bởi hai phương trình mặt phẳng.

4. Tính góc giữa hai mặt phẳng: Sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ pháp tuyến của hai mặt phẳng.

5. Tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng: Sử dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng.

III. Bài tập vận dụng và giải chi tiết

Dưới đây là một số bài tập vận dụng từ sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức, cùng với lời giải chi tiết:

Bài 1: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm A(1, 2, 3) và có vectơ pháp tuyến n = (2, -1, 1).

Giải: Phương trình mặt phẳng có dạng 2(x - 1) - (y - 2) + (z - 3) = 0, tương đương với 2x - y + z - 3 = 0.

Bài 2: Tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A(1, 0, 0), B(0, 1, 0) và C(0, 0, 1).

Giải: Tìm hai vectơ AB = (-1, 1, 0) và AC = (-1, 0, 1). Tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến: n = AB x AC = (1, 1, 1). Phương trình mặt phẳng có dạng (x - 1) + y + z = 0, tương đương với x + y + z - 1 = 0.

Bài 3: Tính khoảng cách từ điểm M(2, -1, 3) đến mặt phẳng 3x - 2y + z + 1 = 0.

Giải: Sử dụng công thức tính khoảng cách: d = |3(2) - 2(-1) + 3 + 1| / sqrt(3^2 + (-2)^2 + 1^2) = |6 + 2 + 3 + 1| / sqrt(14) = 12 / sqrt(14) = 6*sqrt(14) / 7.

IV. Lời khuyên khi học và luyện tập

Để nắm vững kiến thức về phương trình mặt phẳng, các em nên:

Hiểu rõ các khái niệm cơ bản về vectơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng.
Luyện tập nhiều bài tập với các dạng khác nhau để làm quen với các phương pháp giải.
Sử dụng các công cụ hỗ trợ như máy tính cầm tay hoặc phần mềm vẽ hình để kiểm tra kết quả.
Tham khảo các tài liệu học tập khác và trao đổi với bạn bè, giáo viên để hiểu sâu hơn về chủ đề này.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!