Bài 11. Nguyên hàm

Bài 11. Nguyên hàm - SBT Toán 12 - Kết nối tri thức: Tổng quan

Bài 11 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc tìm hiểu khái niệm nguyên hàm, các tính chất của nguyên hàm và các phương pháp tìm nguyên hàm của một hàm số. Đây là một bước quan trọng để chuẩn bị cho việc học tích phân, một công cụ mạnh mẽ trong việc giải quyết nhiều bài toán thực tế.

1. Khái niệm nguyên hàm

Một hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng I nếu F'(x) = f(x) với mọi x thuộc I. Nguyên hàm của một hàm số không phải là duy nhất, mà là một họ các hàm số khác nhau một hằng số. Ví dụ, nếu f(x) = 2x, thì F(x) = x² + C là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.

2. Các tính chất của nguyên hàm

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x), thì F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x), với C là một hằng số bất kỳ.
Nếu f(x) là một hàm số liên tục trên khoảng I, thì họ các nguyên hàm của f(x) trên I có thể được biểu diễn bằng công thức F(x) + C, với C là một hằng số bất kỳ.

3. Các phương pháp tìm nguyên hàm

a. Sử dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Có một số nguyên hàm cơ bản mà chúng ta cần nhớ để giải quyết các bài toán tìm nguyên hàm. Ví dụ:

Hàm số f(x)	Nguyên hàm F(x)
xⁿ (n ≠ -1)	(xⁿ⁺¹)/(n+1) + C
1/x	ln\|x\| + C
e^x	e^x + C
sin(x)	-cos(x) + C
cos(x)	sin(x) + C

b. Sử dụng phương pháp đổi biến số

Phương pháp đổi biến số được sử dụng để tìm nguyên hàm của các hàm số phức tạp bằng cách thay đổi biến số để đơn giản hóa tích phân. Ví dụ, để tìm nguyên hàm của ∫2x(x² + 1)³ dx, ta có thể đặt u = x² + 1, suy ra du = 2x dx. Khi đó, tích phân trở thành ∫u³ du = (u⁴)/4 + C = (x² + 1)⁴/4 + C.

c. Sử dụng phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần được sử dụng để tìm nguyên hàm của tích hai hàm số. Công thức tích phân từng phần là ∫u dv = uv - ∫v du. Ví dụ, để tìm nguyên hàm của ∫x sin(x) dx, ta có thể đặt u = x và dv = sin(x) dx, suy ra du = dx và v = -cos(x). Khi đó, tích phân trở thành -x cos(x) - ∫(-cos(x)) dx = -x cos(x) + sin(x) + C.

4. Bài tập vận dụng

Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = 3x² + 2x + 1.
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = sin(2x).
Tìm nguyên hàm của hàm số f(x) = x e^x.

5. Kết luận

Bài 11. Nguyên hàm là một bài học quan trọng trong chương trình Toán 12. Việc nắm vững khái niệm nguyên hàm, các tính chất và các phương pháp tìm nguyên hàm sẽ giúp các em giải quyết các bài toán tích phân một cách hiệu quả. Hãy luyện tập thường xuyên để củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán của mình.