THCS
THCS
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài tập 1.55 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Bài giải này được trình bày rõ ràng, dễ hiểu, giúp học sinh nắm vững kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải toán.
Chúng tôi luôn cập nhật nhanh chóng và chính xác các lời giải bài tập Toán 12 Kết nối tri thức, đáp ứng nhu cầu học tập của học sinh trên toàn quốc.
Cho hàm số (y = frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}). Hàm số đạt cực đại tại (x = 2) khi A. (m = - 1). B. (m = - 3). C. (m in left{ { - 3; - 1} right}). D. (m in emptyset ).
Đề bài
Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} + mx + 1}}{{x + m}}\). Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) khi
A. \(m = - 1\)
B. \(m = - 3\)
C. \(m \in \left\{ { - 3; - 1} \right\}\)
D. \(m \in \emptyset \)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Tính đạo hàm cấp 1 và cấp 2 của hàm số.
+ Yêu cầu bài toán tương đương với đạo hàm cấp 1 tại \(x = 2\) bằng 0, đạo hàm cấp 2 tại \(x = 2\) âm. Ta sẽ tìm m thỏa mãn điều kiện này.
Lời giải chi tiết
Ta có \(y' = \frac{{\left( {2x + m} \right)\left( {x + m} \right) - \left( {{x^2} + mx + 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\).
Suy ra:
\(\begin{array}{l}y'' = {\left[ {\frac{{{x^2} + 2mx + {m^2} - 1}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}} \right]^\prime } = \frac{{\left( {2x + 2m} \right){{\left( {x + m} \right)}^2} - 2\left( {x + m} \right)\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{{{\left( {x + m} \right)}^2}}}\\{\rm{ }} = 2x + 2m - \frac{{2\left( {{x^2} + 2mx + {m^2} - 1} \right)}}{{x + m}}\end{array}\).
Để hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\) thì \(y'\left( 2 \right) = 0\) và \(y''\left( 2 \right) < 0\).
Ta có \(y'\left( 2 \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{{2^2} + 2m \cdot 2 + {m^2} - 1}}{{{{\left( {2 + m} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow 3 + 4m + {m^2} = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) hoặc \(m = - 3\).
Với \(m = - 1\) ta có \(y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 1} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 1} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 1} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 1}} = 2 > 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực tiểu của hàm số.
Với \(m = - 3\) ta có \(y''\left( 2 \right) = 2 \cdot 2 + 2 \cdot \left( { - 3} \right) - \frac{{2\left( {{2^2} + 2\left( { - 3} \right) \cdot 2 + {{\left( { - 3} \right)}^2} - 1} \right)}}{{2 - 3}} = - 2 < 0\), do đó \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số.
Vậy để \(x = 2\) là một điểm cực đại của hàm số thì \(m = - 3\). Ta chọn đáp án B.
Bài 1.55 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết các bài toán thực tế, rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải toán.
Bài tập 1.55 thường xoay quanh việc tìm đạo hàm của hàm số, xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải quyết bài tập này, học sinh cần nắm vững các công thức đạo hàm cơ bản, quy tắc tính đạo hàm và các phương pháp khảo sát hàm số.
Để giúp học sinh hiểu rõ hơn về cách giải bài tập này, Montoan.com.vn xin trình bày lời giải chi tiết như sau:
Đầu tiên, học sinh cần xác định rõ hàm số được cho trong bài tập. Ví dụ, hàm số có thể là y = f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1.
Tiếp theo, học sinh cần tính đạo hàm cấp một của hàm số, ký hiệu là f'(x). Sử dụng quy tắc đạo hàm, ta có f'(x) = 3x^2 - 6x + 2.
Để tìm điểm cực trị, học sinh cần giải phương trình f'(x) = 0. Trong ví dụ trên, ta có 3x^2 - 6x + 2 = 0. Giải phương trình bậc hai này, ta tìm được hai nghiệm x1 và x2. Đây chính là hoành độ của các điểm cực trị.
Để xác định loại điểm cực trị (cực đại hay cực tiểu), học sinh cần xét dấu đạo hàm cấp hai f''(x). Nếu f''(x) > 0 tại một điểm cực trị, thì đó là điểm cực tiểu. Ngược lại, nếu f''(x) < 0, thì đó là điểm cực đại.
Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một f'(x), học sinh có thể xác định khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. Nếu f'(x) > 0 trên một khoảng, thì hàm số đồng biến trên khoảng đó. Ngược lại, nếu f'(x) < 0, thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Cuối cùng, học sinh có thể vẽ đồ thị hàm số dựa trên các thông tin đã tìm được, bao gồm điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và các điểm đặc biệt khác.
Montoan.com.vn là website học toán online uy tín, cung cấp lời giải chi tiết các bài tập Toán 12 Kết nối tri thức và các chương trình học khác. Chúng tôi cam kết mang đến cho học sinh những trải nghiệm học tập tốt nhất, giúp các em đạt kết quả cao trong học tập.
Để hiểu rõ hơn, chúng ta cùng xét một ví dụ cụ thể. Giả sử bài tập yêu cầu tìm cực trị của hàm số y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1. Áp dụng các bước trên, ta sẽ tìm được điểm cực tiểu tại x = 1 và điểm cực đại tại x = 0. Đồ thị hàm số sẽ có hình dạng chữ U với điểm cực tiểu thấp nhất và điểm cực đại cao nhất.
Bài 1.55 trang 34 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng, giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với lời giải chi tiết và những lưu ý trên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này và đạt kết quả tốt trong môn Toán.
