THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với lời giải chi tiết bài 1.67 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức trên Montoan.com.vn. Bài viết này sẽ giúp các em hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan đến bài học.
Montoan cam kết cung cấp nội dung chính xác, dễ hiểu và cập nhật liên tục để hỗ trợ tối đa quá trình học tập của các em.
Cắt bỏ hình quạt tròn OAB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu (left( {0 < x < 2pi } right)). a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x. b) Tính thể tích của hình nón theo R và x c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Đề bài
Cắt bỏ hình quạt tròn OAB (hình phẳng có nét gạch trong hình dưới đây) từ một mảnh các tông hình tròn bán kính R rồi dán hai bán kính OA và OB của hình quạt tròn còn lại với nhau được một cái phễu có dạng của một hình nón. Gọi x là góc ở tâm của quạt tròn dùng làm phễu \(\left( {0 < x < 2\pi } \right)\).
a) Hãy biểu diễn bán kính đáy r và đường cao h của hình nón theo R và x.
b) Tính thể tích của hình nón theo R và x
c) Tìm x để hình nón có thể tích lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Chu vi đáy hình nón bằng độ dài cung AB, từ đó tìm được r, áp dụng định lý Pythagore để tìm h.
Ý b: Sau khi đã biết bán kính và chiều cao từ ý a, áp dụng công thức tính thể tích hình nón để tìm được V.
Ý c: Xét hàm số V theo x để tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( {0;2\pi } \right)\).
Lời giải chi tiết
a) Vì độ dài của đường tròn đáy hình nón (chu vi đáy) bằng độ dài của quạt tròn dùng làm phễu nên ta có \(2\pi r = Rx \Leftrightarrow r = \frac{{Rx}}{{2\pi }}\). Khi đó ta có:
\(h = \sqrt {{R^2} - {r^2}} = \sqrt {{R^2} - \frac{{{R^2}{x^2}}}{{4{\pi ^2}}}} = \frac{R}{{2\pi }}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).
b) Thể tích hình nón là \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} \).
c) Ta cần tìm \(x \in \left( {0;2\pi } \right)\) để thể tích \(V\) đạt giá trị lớn nhất.
Xét hàm số \(V = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}{x^2}\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} ,x \in \left( {0;2\pi } \right)\).
Ta có \(V' = \frac{{{R^3}}}{{24{\pi ^2}}}\frac{{x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right)}}{{\sqrt {4{\pi ^2} - {x^2}} }}\) suy ra \(V' = 0 \Leftrightarrow x\left( {8{\pi ^2} - 3{x^2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \), do \(x > 0\).
Lập bảng biến thiên:
Hình nón có diện tích lớn nhất khi \(x = \frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi \) khi đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;2\pi } \right)} V = V\left( {\frac{{2\sqrt 6 }}{3}\pi } \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{{27}}\pi {R^3}\).
Bài 1.67 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào việc ôn tập và củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Bài tập này thường yêu cầu học sinh vận dụng các công thức, định lý đã học để giải quyết các bài toán liên quan đến vị trí tương đối giữa đường thẳng và mặt phẳng, góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng, và các bài toán ứng dụng thực tế.
Để giải quyết bài 1.67 trang 36 một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức sau:
Để giải bài 1.67 trang 36, chúng ta có thể áp dụng các phương pháp sau:
Giả sử bài 1.67 yêu cầu tính góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P). Để giải bài này, chúng ta cần:
Ví dụ cụ thể, nếu đường thẳng d có vector chỉ phương là a = (a1, a2, a3) và mặt phẳng (P) có vector pháp tuyến là n = (n1, n2, n3), thì góc α giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) được tính bởi công thức:
sin(α) = |a . n| / (||a|| . ||n||)
Để củng cố kiến thức về bài 1.67, các em có thể làm thêm các bài tập tương tự trong sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Ngoài ra, các em cũng có thể tìm kiếm các bài tập trực tuyến trên Montoan.com.vn để luyện tập thêm.
Bài 1.67 trang 36 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp các em củng cố kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trong bài viết này, các em sẽ tự tin hơn khi giải quyết các bài toán tương tự.
| Công thức | Mô tả |
|---|---|
| sin(α) = |a . n| / (||a|| . ||n||) | Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng |
