Bài 10. Phương sai và độ lệch chuẩn

Bài 10 trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức tập trung vào việc tìm hiểu và vận dụng các khái niệm về phương sai và độ lệch chuẩn để đánh giá mức độ phân tán của một tập dữ liệu. Đây là một phần quan trọng trong thống kê, giúp chúng ta hiểu rõ hơn về sự biến động của các giá trị trong một mẫu số liệu.

1. Khái niệm phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai (Variance) là một đại lượng đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu so với giá trị trung bình. Nó được tính bằng trung bình cộng của các bình phương độ lệch của mỗi giá trị trong tập dữ liệu so với giá trị trung bình.

Công thức tính phương sai:

σ² = Σ(x_i - μ)² / N

Trong đó:

σ² là phương sai
x_i là giá trị thứ i trong tập dữ liệu
μ là giá trị trung bình của tập dữ liệu
N là số lượng giá trị trong tập dữ liệu

Độ lệch chuẩn (Standard Deviation) là căn bậc hai của phương sai. Nó cũng đo lường mức độ phân tán của một tập dữ liệu, nhưng có đơn vị giống với đơn vị của dữ liệu gốc, giúp dễ dàng diễn giải hơn.

Công thức tính độ lệch chuẩn:

σ = √σ²

2. Ý nghĩa của phương sai và độ lệch chuẩn

Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn, dữ liệu càng phân tán rộng. Ngược lại, phương sai và độ lệch chuẩn càng nhỏ, dữ liệu càng tập trung gần giá trị trung bình.

Trong thực tế, phương sai và độ lệch chuẩn được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực như:

Tài chính: Đánh giá rủi ro của các khoản đầu tư.
Khoa học: Phân tích kết quả thí nghiệm.
Kỹ thuật: Kiểm soát chất lượng sản phẩm.

3. Ví dụ minh họa

Giả sử chúng ta có một tập dữ liệu về chiều cao của 5 học sinh (đơn vị: cm): 160, 165, 170, 175, 180.

Bước 1: Tính giá trị trung bình:

μ = (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170

Bước 2: Tính phương sai:

σ² = [(160-170)² + (165-170)² + (170-170)² + (175-170)² + (180-170)²] / 5

σ² = [100 + 25 + 0 + 25 + 100] / 5 = 50

Bước 3: Tính độ lệch chuẩn:

σ = √50 ≈ 7.07

Kết quả cho thấy, chiều cao của các học sinh có mức độ phân tán tương đối nhỏ so với giá trị trung bình.

4. Bài tập vận dụng

Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập sau trong sách bài tập Toán 12 Kết nối tri thức:

Bài 10.1: Tính phương sai và độ lệch chuẩn của các tập dữ liệu cho trước.
Bài 10.2: So sánh mức độ phân tán của các tập dữ liệu khác nhau.
Bài 10.3: Ứng dụng phương sai và độ lệch chuẩn vào giải quyết các bài toán thực tế.