Giải bài 4.11 trang 12 sách bài tập toán 12 - Kết nối tri thức
Giải bài 4.11 trang 12 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức
Montoan.com.vn xin giới thiệu lời giải chi tiết bài 4.11 trang 12 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức. Bài tập này thuộc chương trình học Toán 12, tập trung vào kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm trong việc khảo sát hàm số.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp học sinh nắm vững kiến thức và kỹ năng giải bài tập. Học sinh có thể tham khảo để tự học, ôn tập và làm bài tập về nhà hiệu quả.
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính: a) (intlimits_0^3 {left( {2x + 1} right)dx} ); b) (intlimits_0^4 {sqrt {16 - {x^2}} dx} ).
Đề bài
Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:
a) \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);
b) \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Ý a: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(2x + 1\) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;3} \right]\).
Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.
Ý b: Giá trị tích phân là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi hàm \(\sqrt {16 - {x^2}} \) và hai đường thẳng xác định bởi giá trị hai cận do hàm không âm trên \(\left[ {0;4} \right]\).
Xác định hình vẽ đó và tính diện tích bằng công thức hình học.
Lời giải chi tiết
a) Ta có hàm số \(f\left( x \right) = 2x + 1\) không âm trên đoạn \(\left[ {0;3} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là
diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và
\(x = 3\) như hình vẽ bên.Ta cần tính diện tích hình thang vuông có
đáy lớn là 7, đáy bé là 1 và chiều cao là 3.
Suy ra \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} = \frac{1}{2} \cdot \left( {1 + 7} \right) \cdot 3 = 12\).
b) Ta có \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} \).
Ta có hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {16 - {x^2}} \) không âm trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\). Do đó tích phân \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \) là diện tích của hình vẽ giới hạn bởi đồ thị \(y = f\left( x \right)\) và hai đường thẳng \(x = 0\) (trục \(Ox\)) và \(x = 4\) như hình vẽ bên.
Ta cần tính diện tích một phần tư đường tròn có bán kính là 4, tâm O nằm ở góc phần tư thứ I. Suy ra \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 - {x^2}} dx} = \frac{1}{4} \cdot \pi \cdot {4^2} = 4\pi \).
Giải bài 4.11 trang 12 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức: Phân tích chi tiết và hướng dẫn giải
Bài 4.11 trang 12 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng trong chương trình học về đạo hàm. Bài tập này yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến việc khảo sát hàm số.
Nội dung bài tập 4.11 trang 12
Bài tập 4.11 thường xoay quanh việc tìm đạo hàm của hàm số, xác định các điểm cực trị, khoảng đồng biến, nghịch biến và vẽ đồ thị hàm số. Để giải bài tập này, học sinh cần nắm vững các kiến thức sau:
- Định nghĩa đạo hàm: Hiểu rõ khái niệm đạo hàm và cách tính đạo hàm của các hàm số cơ bản.
- Quy tắc tính đạo hàm: Nắm vững các quy tắc tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và hàm hợp.
- Điều kiện cực trị: Biết cách xác định các điểm cực trị của hàm số dựa trên đạo hàm bậc nhất và bậc hai.
- Khoảng đồng biến, nghịch biến: Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số dựa trên dấu của đạo hàm.
Hướng dẫn giải bài 4.11 trang 12 (Ví dụ minh họa)
Để minh họa, chúng ta sẽ xét một ví dụ cụ thể về bài tập 4.11 trang 12. Giả sử bài tập yêu cầu khảo sát hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
- Tìm tập xác định: Hàm số y = x3 - 3x2 + 2 có tập xác định là R.
- Tính đạo hàm bậc nhất: y' = 3x2 - 6x.
- Tìm điểm cực trị: Giải phương trình y' = 0, ta được x = 0 và x = 2. Vậy hàm số có hai điểm cực trị là x = 0 và x = 2.
- Xác định khoảng đồng biến, nghịch biến:
- Khi x < 0, y' > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0).
- Khi 0 < x < 2, y' < 0, hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
- Khi x > 2, y' > 0, hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞).
- Tính đạo hàm bậc hai: y'' = 6x - 6.
- Xác định điểm uốn: Giải phương trình y'' = 0, ta được x = 1. Vậy hàm số có điểm uốn tại x = 1.
- Vẽ đồ thị hàm số: Dựa trên các thông tin đã tính toán, ta có thể vẽ được đồ thị hàm số y = x3 - 3x2 + 2.
Các dạng bài tập thường gặp trong bài 4.11
Ngoài ví dụ trên, bài 4.11 trang 12 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác như:
- Tìm đạo hàm của hàm số lượng giác.
- Tìm đạo hàm của hàm số mũ và logarit.
- Khảo sát hàm số bậc ba, bậc bốn.
- Ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán tối ưu.
Mẹo giải bài tập 4.11 hiệu quả
Để giải bài tập 4.11 trang 12 một cách hiệu quả, học sinh nên:
- Nắm vững các định nghĩa và quy tắc tính đạo hàm.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Sử dụng máy tính cầm tay để kiểm tra kết quả.
- Tham khảo các tài liệu học tập và lời giải chi tiết trên Montoan.com.vn.
Kết luận
Bài 4.11 trang 12 Sách bài tập Toán 12 - Kết nối tri thức là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết và các mẹo giải bài tập trên, học sinh có thể tự tin giải quyết bài tập này một cách hiệu quả. Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng học sinh trên con đường chinh phục môn Toán.
| Khái niệm | Giải thích |
|---|---|
| Đạo hàm | Tốc độ thay đổi tức thời của hàm số. |
| Điểm cực trị | Điểm mà tại đó hàm số đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất trong một khoảng nào đó. |
| Khoảng đồng biến | Khoảng mà hàm số tăng khi x tăng. |
| Khoảng nghịch biến | Khoảng mà hàm số giảm khi x tăng. |
