Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Trong hình học, đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến, và chúng đồng quy tại một điểm đặc biệt gọi là trọng tâm của tam giác.

I. Khái niệm đường trung tuyến

Đường trung tuyến của tam giác ABC là đoạn thẳng AM, trong đó M là trung điểm của cạnh BC. Tương tự, BN là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh B đến trung điểm N của cạnh AC, và CP là đường trung tuyến kẻ từ đỉnh C đến trung điểm P của cạnh AB.

II. Tính chất của trọng tâm

Trọng tâm G là giao điểm của ba đường trung tuyến AM, BN, CP. Trọng tâm có tính chất quan trọng sau:

AG = 2GM
BG = 2GN
CG = 2GP

Điều này có nghĩa là trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn thẳng, với đoạn thẳng từ đỉnh đến trọng tâm dài gấp đôi đoạn thẳng từ trọng tâm đến trung điểm cạnh đối diện.

III. Chứng minh tính chất của trọng tâm

Để chứng minh tính chất AG = 2GM, ta có thể sử dụng phương pháp vector hoặc phương pháp hình học. Dưới đây là một cách chứng minh bằng phương pháp hình học:

Gọi D là trung điểm của BG.
Chứng minh rằng AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.
Sử dụng định lý Thales để chứng minh AG = 2GD.
Từ đó suy ra AG = 2GM.

IV. Ứng dụng của tính chất đường trung tuyến và trọng tâm

Tính chất của đường trung tuyến và trọng tâm có nhiều ứng dụng trong giải toán hình học, đặc biệt là trong các bài toán liên quan đến diện tích tam giác, tính độ dài đoạn thẳng và chứng minh tính đồng quy của các đường thẳng.

Ví dụ 1:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM = 9cm. Tính độ dài AG.

Giải:

Ta có AG = 2GM và AM = AG + GM = 9cm. Thay AG = 2GM vào, ta được 2GM + GM = 3GM = 9cm. Suy ra GM = 3cm và AG = 2GM = 6cm.

Ví dụ 2:

Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng GD = GE = GF.

Giải:

Ta có GD = BG/3, GE = CG/3, GF = AG/3. Vì BG = 2GD, CG = 2GE, AG = 2GF nên GD = GE = GF.

V. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức về tính chất ba đường trung tuyến của tam giác, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

Bài 1: Cho tam giác ABC có AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm. Biết AG = 6cm. Tính AM.
Bài 2: Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng tam giác DEF đồng dạng với tam giác ABC.
Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = 6cm, AC = 8cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.

Hy vọng bài học này đã giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 10. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác. Chúc các em học tập tốt!