Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là một biểu thức toán học quan trọng trong chương trình Toán học lớp 10, đặc biệt là trong chương Hàm số, đồ thị và ứng dụng. Việc hiểu rõ về dấu của tam thức bậc hai là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán liên quan đến bất phương trình bậc hai, tìm khoảng giá trị của hàm số và phân tích đồ thị.

1. Định nghĩa tam thức bậc hai

Tam thức bậc hai là biểu thức có dạng f(x) = ax² + bx + c, trong đó a, b, c là các số thực và a ≠ 0.

2. Dấu của tam thức bậc hai

Dấu của tam thức bậc hai phụ thuộc vào hệ số a và biệt thức Δ = b² - 4ac.

Trường hợp 1: Δ > 0: Tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂ (với x₁ < x₂). Khi đó:
- f(x) > 0 khi x < x₁ hoặc x > x₂
- f(x) < 0 khi x₁ < x < x₂
Trường hợp 2: Δ = 0: Tam thức bậc hai có nghiệm kép x₀ = -b/2a. Khi đó:
- f(x) > 0 khi x ≠ x₀
- f(x) = 0 khi x = x₀
Trường hợp 3: Δ < 0: Tam thức bậc hai không có nghiệm thực. Khi đó:
- Nếu a > 0 thì f(x) > 0 với mọi x
- Nếu a < 0 thì f(x) < 0 với mọi x

3. Ứng dụng của việc xác định dấu tam thức bậc hai

Việc xác định dấu của tam thức bậc hai có nhiều ứng dụng trong toán học, bao gồm:

Giải bất phương trình bậc hai: Sử dụng dấu của tam thức bậc hai để xác định tập nghiệm của bất phương trình.
Tìm khoảng giá trị của hàm số: Xác định khoảng giá trị của hàm số dựa trên dấu của tam thức bậc hai.
Phân tích đồ thị hàm số bậc hai: Xác định vị trí của đồ thị hàm số so với trục hoành dựa trên dấu của tam thức bậc hai.

4. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xét tam thức bậc hai f(x) = x² - 5x + 6. Ta có Δ = (-5)² - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0. Vậy tam thức có hai nghiệm phân biệt x₁ = 2 và x₂ = 3. Do đó:

f(x) > 0 khi x < 2 hoặc x > 3
f(x) < 0 khi 2 < x < 3

Ví dụ 2: Xét tam thức bậc hai f(x) = -x² + 4x - 4. Ta có Δ = 4² - 4(-1)(-4) = 16 - 16 = 0. Vậy tam thức có nghiệm kép x₀ = 2. Do đó:

f(x) < 0 khi x ≠ 2
f(x) = 0 khi x = 2

5. Bài tập luyện tập

Xác định dấu của tam thức bậc hai f(x) = 2x² + 3x - 5.
Giải bất phương trình x² - 4x + 3 > 0.
Tìm khoảng giá trị của hàm số y = -x² + 6x - 9.

Hy vọng bài học này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về dấu của tam thức bậc hai. Hãy luyện tập thêm nhiều bài tập để nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài toán liên quan.