Bài 18. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai - SGK Toán 10 - Kết nối tri thức

Bài 18 trong sách giáo khoa Toán 10 Kết nối tri thức tập 2 đi sâu vào phương pháp giải các phương trình không trực tiếp là phương trình bậc hai, nhưng có thể được biến đổi để đưa về dạng quen thuộc này. Việc nắm vững phương pháp này là rất quan trọng, vì nó xuất hiện thường xuyên trong các bài toán đại số và có ứng dụng thực tế cao.

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Phương trình bậc hai:

• Dạng tổng quát: ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)
• Công thức nghiệm: x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a
• Biệt thức: Δ = b² - 4ac

2. Các dạng phương trình quy về phương trình bậc hai:

• Phương trình chứa căn thức: Ví dụ: √(x+1) = x-1. Để giải, ta bình phương hai vế và kiểm tra điều kiện.
• Phương trình chứa mẫu thức: Ví dụ: 1/(x-2) + 2 = 3/(x-2). Điều kiện: x ≠ 2. Sau đó nhân cả hai vế với (x-2).
• Phương trình tích: Ví dụ: (x-1)(x+2) = 0. Phương trình tích bằng 0 khi và chỉ khi một trong các nhân tử bằng 0.
• Phương trình chia: Ví dụ: (x² - 4) / (x-2) = 0. Điều kiện: x ≠ 2. Sau đó giải x² - 4 = 0.

II. Phương pháp giải bài tập

Để giải các phương trình quy về phương trình bậc hai, ta cần thực hiện các bước sau:

1. Xác định điều kiện xác định của phương trình. (Nếu có mẫu số hoặc căn thức)
2. Biến đổi phương trình về dạng phương trình bậc hai. (Bình phương, nhân chéo, đặt ẩn phụ,...)
3. Giải phương trình bậc hai vừa thu được.
4. Kiểm tra điều kiện xác định. Loại bỏ các nghiệm không thỏa mãn điều kiện.

III. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Giải phương trình √(2x - 1) = x - 1

Giải:

• Điều kiện: 2x - 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1/2
• Bình phương hai vế: 2x - 1 = (x - 1)² ⇔ 2x - 1 = x² - 2x + 1
• Chuyển về phương trình bậc hai: x² - 4x + 2 = 0
• Giải phương trình bậc hai: x = (4 ± √(16 - 8)) / 2 = (4 ± √8) / 2 = 2 ± √2
• Kiểm tra điều kiện:
• x = 2 + √2 ≈ 3.41 > 1/2 (thỏa mãn)
• x = 2 - √2 ≈ 0.59 > 1/2 (thỏa mãn)
• Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 2 + √2 và x = 2 - √2

Ví dụ 2: Giải phương trình 1/(x+1) + 1/(x-1) = 2

Giải:

• Điều kiện: x ≠ -1 và x ≠ 1
• Quy đồng mẫu số: (x-1) + (x+1) = 2(x² - 1)
• Giải phương trình: 2x = 2x² - 2 ⇔ 2x² - 2x - 2 = 0 ⇔ x² - x - 1 = 0
• Giải phương trình bậc hai: x = (1 ± √(1 + 4)) / 2 = (1 ± √5) / 2
• Kiểm tra điều kiện: Cả hai nghiệm đều thỏa mãn điều kiện x ≠ -1 và x ≠ 1
• Vậy phương trình có hai nghiệm: x = (1 + √5) / 2 và x = (1 - √5) / 2

IV. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau trong SGK Toán 10 Kết nối tri thức tập 2:

• Bài 18.1
• Bài 18.2
• Bài 18.3

montoan.com.vn hy vọng bài viết này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải các phương trình quy về phương trình bậc hai. Chúc bạn học tập tốt!