Bài 2. Công thức xác suất toàn phần. Công thức Bayes

Bài 2: Công thức xác suất toàn phần và Công thức Bayes - SBT Toán 12 Cánh Diều

Bài 2 trong sách bài tập Toán 12 Cánh Diều tập trung vào hai công thức quan trọng trong lý thuyết xác suất: công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Việc nắm vững hai công thức này là nền tảng để giải quyết nhiều bài toán xác suất thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như thống kê, khoa học dữ liệu và kỹ thuật.

1. Công thức xác suất toàn phần

Công thức xác suất toàn phần được sử dụng để tính xác suất của một biến cố khi biến cố đó có thể xảy ra thông qua một số các biến cố khác, không tương giao.

Phát biểu: Cho A là một biến cố và B₁, B₂, ..., B_n là một hệ các biến cố không tương giao và hợp của chúng bằng không gian mẫu Ω (B₁ ∪ B₂ ∪ ... ∪ B_n = Ω). Khi đó, xác suất của biến cố A được tính theo công thức:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) + ... + P(A|B_n)P(B_n)

Ví dụ minh họa: Một nhà máy có hai dây chuyền sản xuất A và B. Dây chuyền A sản xuất 60% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 2%. Dây chuyền B sản xuất 40% tổng số sản phẩm và tỷ lệ sản phẩm lỗi là 3%. Tính xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi.

Giải:

• Gọi A là biến cố “sản phẩm được chọn là sản phẩm lỗi”.
• Gọi B₁ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền A”.
• Gọi B₂ là biến cố “sản phẩm được sản xuất từ dây chuyền B”.

Ta có:

• P(B₁) = 0.6
• P(B₂) = 0.4
• P(A|B₁) = 0.02
• P(A|B₂) = 0.03

Áp dụng công thức xác suất toàn phần:

P(A) = P(A|B₁)P(B₁) + P(A|B₂)P(B₂) = 0.02 * 0.6 + 0.03 * 0.4 = 0.012 + 0.012 = 0.024

Vậy, xác suất một sản phẩm được chọn ngẫu nhiên là sản phẩm lỗi là 2.4%.

2. Công thức Bayes

Công thức Bayes được sử dụng để tính xác suất có điều kiện của một biến cố khi biết thông tin về một biến cố khác.

Phát biểu: Cho A và B là hai biến cố. Khi đó, xác suất của biến cố A khi biết biến cố B xảy ra được tính theo công thức:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B)

Trong đó, P(B) có thể được tính bằng công thức xác suất toàn phần.

Ví dụ minh họa: Một bệnh viện thực hiện xét nghiệm để kiểm tra một loại bệnh. Xét nghiệm có độ chính xác 95%, nghĩa là nếu một người mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả dương tính với xác suất 95%, và nếu một người không mắc bệnh, xét nghiệm sẽ cho kết quả âm tính với xác suất 95%. Biết rằng 1% dân số mắc bệnh này. Một người được xét nghiệm và kết quả dương tính. Tính xác suất người đó mắc bệnh.

Giải:

• Gọi A là biến cố “người đó mắc bệnh”.
• Gọi B là biến cố “kết quả xét nghiệm dương tính”.

Ta có:

• P(A) = 0.01
• P(¬A) = 0.99
• P(B|A) = 0.95
• P(¬B|¬A) = 0.95 => P(B|¬A) = 0.05

Tính P(B) bằng công thức xác suất toàn phần:

P(B) = P(B|A)P(A) + P(B|¬A)P(¬A) = 0.95 * 0.01 + 0.05 * 0.99 = 0.0095 + 0.0495 = 0.059

Áp dụng công thức Bayes:

P(A|B) = [P(B|A)P(A)] / P(B) = (0.95 * 0.01) / 0.059 ≈ 0.161

Vậy, xác suất người đó mắc bệnh là khoảng 16.1%.

3. Bài tập áp dụng

Để củng cố kiến thức về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes, các em có thể thực hành giải các bài tập sau:

• Bài 1: Một hộp chứa 5 quả bóng đỏ và 3 quả bóng xanh. Lấy ngẫu nhiên 2 quả bóng. Tính xác suất cả hai quả bóng đều màu đỏ.
• Bài 2: Một công ty sản xuất linh kiện điện tử. Biết rằng 90% linh kiện do công ty A sản xuất và 10% do công ty B sản xuất. Tỷ lệ linh kiện lỗi của công ty A là 2% và của công ty B là 5%. Chọn ngẫu nhiên một linh kiện bị lỗi. Tính xác suất linh kiện đó do công ty A sản xuất.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về công thức xác suất toàn phần và công thức Bayes. Chúc các em học tập tốt!