Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc

Bài 2 trong SGK Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc nghiên cứu điều kiện để hai đường thẳng trong không gian vuông góc với nhau. Đây là một kiến thức quan trọng, nền tảng cho việc giải quyết nhiều bài toán hình học không gian phức tạp hơn.

1. Khái niệm hai đường thẳng vuông góc trong không gian

Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau khi và chỉ khi góc giữa chúng bằng 90 độ. Trong không gian, việc xác định góc giữa hai đường thẳng có thể được thực hiện thông qua việc sử dụng vectơ chỉ phương của chúng.

2. Điều kiện để hai đường thẳng vuông góc

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt có vectơ chỉ phương \vec{u_1}" và \vec{u_2}". Hai đường thẳng d₁ và d₂ vuông góc với nhau khi và chỉ khi tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương bằng 0:

\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = 0

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hai đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương \vec{u_1} = (1; 2; -1)" và d₂ có vectơ chỉ phương \vec{u_2} = (2; -1; 1)". Kiểm tra xem hai đường thẳng này có vuông góc với nhau hay không.

Giải: Ta tính tích vô hướng của \vec{u_1}" và \vec{u_2}":

\vec{u_1} \cdot \vec{u_2} = (1)(2) + (2)(-1) + (-1)(1) = 2 - 2 - 1 = -1

Vì \vec{u_1} \cdot \vec{u_2} \neq 0 nên hai đường thẳng d₁ và d₂ không vuông góc với nhau.

4. Bài tập áp dụng

Cho hai đường thẳng d₁ và d₂ có vectơ chỉ phương \vec{u_1} = (3; -1; 2)" và \vec{u_2} = (-1; 3; 0)". Xác định xem hai đường thẳng này có vuông góc với nhau hay không.
Tìm một vectơ chỉ phương của đường thẳng vuông góc với đường thẳng có vectơ chỉ phương \vec{u} = (1; 1; 1)".
Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3) và B(3; 4; 5). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông tại A.

5. Mở rộng và liên hệ thực tế

Kiến thức về hai đường thẳng vuông góc có ứng dụng rộng rãi trong thực tế, đặc biệt trong các lĩnh vực như kiến trúc, xây dựng, và kỹ thuật. Ví dụ, trong kiến trúc, việc đảm bảo các bức tường vuông góc với nhau là rất quan trọng để đảm bảo tính ổn định và an toàn của công trình.

6. Lời khuyên khi học bài

Nắm vững định nghĩa và điều kiện để hai đường thẳng vuông góc.
Luyện tập nhiều bài tập để hiểu rõ cách áp dụng công thức và giải quyết các bài toán thực tế.
Sử dụng hình ảnh minh họa để trực quan hóa các khái niệm và bài toán.

Hy vọng bài học này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc - SGK Toán 11 Nâng cao. Chúc các em học tập tốt!