THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ trong không gian.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
a. Cho vecto ... không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto vuông góc với cả hai vecto
Cho vecto \(\overrightarrow n \) khác \(\overrightarrow 0 \) và hai vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng nếu vecto \(\overrightarrow n \) vuông góc với cả hai vecto \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) thì ba vecto \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng.
Lời giải chi tiết:
Nếu \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) đồng phẳng thì có hai số k, l sao cho \(\overrightarrow n = k.\overrightarrow a + l.\overrightarrow b \)
suy ra \(\overrightarrow n .\overrightarrow n = k\overrightarrow a .\overrightarrow n + l\overrightarrow b .\overrightarrow n = 0 \) \(\Rightarrow {\left| {\overrightarrow n } \right|^2} = {\overrightarrow n ^2} = 0 \)
\(\Rightarrow \left| {\overrightarrow n } \right| = 0 \)
\(\Rightarrow \overrightarrow n = \overrightarrow 0 \) (vô lí)
vậy \(\overrightarrow n ,\overrightarrow a ,\overrightarrow b \) không đồng phẳng
Chứng minh rằng ba vecto cùng vuông góc với vecto \(\overrightarrow n \ne \overrightarrow 0 \) thì đồng phẳng. Từ đó suy ra các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì cùng song song với một mặt phẳng.
Lời giải chi tiết:
Giả sử ba vecto cùng vuông góc với \(\overrightarrow n \) là \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \)
Tức là \(\overrightarrow a .\overrightarrow n = \overrightarrow b .\overrightarrow n = \overrightarrow c .\overrightarrow n = 0\)
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
Nếu \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) là hai vecto không cùng phương thì \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow n \) là ba vecto không đồng phẳng (điều này suy ra từ câu a)
Khi đó \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b + z\overrightarrow n .\)
Nhân vô hướng hai vế với \(\overrightarrow n ,\) ta có \(\overrightarrow c .\overrightarrow n = x\overrightarrow a .\overrightarrow n + y\overrightarrow b .\overrightarrow n + z{\overrightarrow n ^2}\) suy ra \(z{\overrightarrow n ^2} = 0\,hay\,z = 0,\) tức là \(\overrightarrow c = x\overrightarrow a + y\overrightarrow b .\)
Vậy các vecto \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c \) đồng phẳng
Nếu ba đường thẳng d1, d2, d3 cùng vuông góc với một đường thẳng thì do kết quả nêu trên, ta có ba vecto chỉ phương của ba đường thẳng d1,d2 ,d3 đồng phẳng tức là ba đường thẳng d1,d2 ,d3 cùng song song với một mặt phẳng.
Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng và các tính chất liên quan.
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
Đề bài thường yêu cầu chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc hai đường thẳng vuông góc với nhau. Để làm được điều này, chúng ta cần:
(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Chứng minh rằng SC vuông góc với AD.)
Lời giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên AC ⊥ BD.
Ta có: AD = DC - AC
Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AD. Do đó, SA.AD = 0.
Xét tam giác SAC vuông tại A, ta có: SC2 = SA2 + AC2 = a2 + (a√2)2 = 3a2.
Xét tích vô hướng SC.AD:
SC.AD = (SA + AC).AD = SA.AD + AC.AD = 0 + 0 = 0.
Vậy SC ⊥ AD (đpcm).
Ngoài dạng bài tập chứng minh quan hệ vuông góc, còn có các dạng bài tập khác liên quan đến vectơ trong không gian, như:
Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững các công thức và tính chất liên quan đến vectơ, tích vô hướng và tích có hướng.
Để củng cố kiến thức và rèn luyện kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập tương tự trong SGK và các tài liệu tham khảo khác. Ngoài ra, bạn cũng có thể tìm kiếm các bài giảng online hoặc tham gia các khóa học luyện thi để được hướng dẫn chi tiết và giải đáp thắc mắc.
Câu 8 trang 95 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh hiểu sâu hơn về vectơ và các ứng dụng của nó trong không gian. Bằng cách nắm vững lý thuyết, phân tích đề bài một cách cẩn thận và áp dụng các phương pháp giải phù hợp, bạn có thể tự tin giải quyết bài toán này và các bài toán tương tự một cách hiệu quả.
