Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải chi tiết Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Montoan.com.vn xin giới thiệu đáp án chi tiết và lời giải bài tập Câu 36 trang 163 sách Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ giúp các em học sinh hiểu rõ phương pháp giải và áp dụng vào các bài tập tương tự.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin hơn trong quá trình học tập.
Tìm các giới hạn sau :
LG a
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{& \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^3} - 5} \over {{x^2} + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {x}{{{x^2}\left( {1 - {5 \over {{x^3}}}} \right)} \over {{x^2}\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x.{{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = + \infty \cr & \text{vì}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x = + \infty \,\text{và}\,\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{1 - {5 \over {{x^3}}}} \over {1 + {1 \over {{x^2}}}}} = 1 > 0 \cr} \)
Cách khác:
LG b
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4} - x} }}{{1 - 2x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {{x^4}\left( {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} }}{{1 - 2x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{x\left( {\frac{1}{x} - 2} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right]\end{array}\)
Ta có
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } x = - \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}} = \frac{1}{{ - 2}} < 0\end{array}\)
Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {x.\frac{{\sqrt {1 - \frac{1}{{{x^3}}}} }}{{\frac{1}{x} - 2}}} \right) = + \infty \)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}}= + \infty \)
Cách khác:
Với mọi \(x < 0\), ta có \({{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = {{{x^2}\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {1 - 2x}} = {{\sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} } \over {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}}}\)
Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \sqrt {1 - {1 \over {{x^3}}}} = 1,\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x}} \right) = 0\,\text{ và }\,{1 \over {{x^2}}} - {2 \over x} > 0\) với mọi \(x < 0\)
Nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^4} - x} } \over {1 - 2x}} = + \infty \)
Câu 36 Trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp
Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao thường xoay quanh các chủ đề về hàm số, đạo hàm, hoặc các ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Để giải quyết hiệu quả câu hỏi này, học sinh cần nắm vững kiến thức cơ bản về các khái niệm liên quan và kỹ năng giải toán.
Phần 1: Đề bài và Phân tích
Trước khi đi vào giải pháp, chúng ta cần hiểu rõ đề bài. Thông thường, câu 36 sẽ yêu cầu học sinh thực hiện một trong các nhiệm vụ sau:
- Xác định tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm của hàm số.
- Tìm cực trị của hàm số.
- Giải phương trình hoặc bất phương trình chứa đạo hàm.
- Ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán về tối ưu hóa.
Việc phân tích kỹ đề bài sẽ giúp học sinh xác định đúng phương pháp giải và tránh những sai sót không đáng có.
Phần 2: Giải pháp chi tiết
Giả sử đề bài yêu cầu tìm cực trị của hàm số f(x) = x3 - 3x2 + 2. Chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:
- Bước 1: Tính đạo hàm cấp một f'(x).
- Bước 2: Tìm các điểm dừng của hàm số bằng cách giải phương trình f'(x) = 0.
- Bước 3: Tính đạo hàm cấp hai f''(x).
- Bước 4: Xác định loại cực trị tại mỗi điểm dừng dựa vào dấu của f''(x).
- Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị.
Áp dụng các bước trên, ta có:
f'(x) = 3x2 - 6x
Giải phương trình 3x2 - 6x = 0, ta được x = 0 và x = 2.
f''(x) = 6x - 6
f''(0) = -6 < 0, vậy hàm số đạt cực đại tại x = 0 và giá trị cực đại là f(0) = 2.
f''(2) = 6 > 0, vậy hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 và giá trị cực tiểu là f(2) = -2.
Phần 3: Các dạng bài tập tương tự và Mẹo giải
Ngoài dạng bài tìm cực trị, câu 36 trang 163 còn có thể xuất hiện các dạng bài tập khác như:
- Bài tập về khoảng đơn điệu của hàm số: Sử dụng dấu của đạo hàm để xác định khoảng tăng, giảm của hàm số.
- Bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng: Tìm cực trị và xét giá trị của hàm số tại các điểm biên của khoảng.
- Bài tập về ứng dụng đạo hàm để giải quyết các bài toán thực tế: Chuyển bài toán thực tế thành bài toán toán học và sử dụng đạo hàm để tìm lời giải.
Mẹo giải:
- Luôn kiểm tra lại kết quả sau khi giải.
- Sử dụng máy tính bỏ túi để tính toán nhanh chóng và chính xác.
- Luyện tập thường xuyên để nắm vững các kỹ năng giải toán.
Phần 4: Kết luận
Câu 36 trang 163 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về đạo hàm và ứng dụng của đạo hàm. Bằng cách nắm vững các khái niệm cơ bản, kỹ năng giải toán và luyện tập thường xuyên, các em học sinh có thể tự tin giải quyết mọi bài tập tương tự.
Bảng tóm tắt các công thức đạo hàm thường dùng
| Hàm số | Đạo hàm |
|---|---|
| y = c (hằng số) | y' = 0 |
| y = xn | y' = nxn-1 |
| y = sinx | y' = cosx |
| y = cosx | y' = -sinx |
