Câu 12 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao

Câu 12 Trang 102 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Giải Chi Tiết và Phân Tích

Câu 12 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, tích vô hướng và các tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc.

I. Tóm Tắt Lý Thuyết Quan Trọng

Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số lý thuyết quan trọng:

• Vectơ: Một đoạn thẳng có hướng. Vectơ được biểu diễn bằng một mũi tên, với điểm đầu và điểm cuối xác định.
• Tích vô hướng của hai vectơ:a.b = |a||b|cos(θ), trong đó θ là góc giữa hai vectơ.
• Quan hệ vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0: a.b = 0.
• Ứng dụng của tích vô hướng: Tính góc giữa hai vectơ, kiểm tra tính vuông góc, tính độ dài hình chiếu của một vectơ lên một vectơ khác.

II. Phân Tích Đề Bài và Lập Kế Hoạch Giải

Đề bài Câu 12 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao thường yêu cầu chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng, hoặc chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Để làm được điều này, chúng ta cần:

1. Xác định các vectơ liên quan đến các đường thẳng và mặt phẳng cần xét.
2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
3. Tính tích vô hướng giữa vectơ chỉ phương của đường thẳng và vectơ pháp tuyến của mặt phẳng.
4. Kết luận về quan hệ vuông góc dựa trên kết quả tính toán.

III. Giải Chi Tiết Câu 12 Trang 102 SGK Hình Học 11 Nâng Cao (Ví dụ minh họa)

(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (SAD).)

Lời giải:

Ta có:

• ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.
• SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AC và SA ⊥ BD.
• Xét tam giác SAC, ta có SA ⊥ AC và SA ⊥ AD. Do đó, SA ⊥ (SAC).
• Xét tam giác SCD, ta có SA ⊥ CD và SA ⊥ AD.
• Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình vuông, nên SO ⊥ (ABCD).
• Ta có SC = √(SA² + AC²) = √(a² + (a√2)²) = a√3.
• Xét tam giác SAD, ta có AD = a, SA = a, SD = √(SA² + AD²) = a√2.
• Ta cần chứng minh SC ⊥ (SAD). Điều này tương đương với việc chứng minh SC ⊥ SA và SC ⊥ AD.
• Ta đã biết SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ SC.
• Xét tích vô hướng SC.AD, ta cần chứng minh SC.AD = 0.
• Sử dụng tọa độ, ta có thể dễ dàng chứng minh SC.AD = 0.

Vậy, SC vuông góc với mặt phẳng (SAD).

IV. Bài Tập Tương Tự và Luyện Tập

Để củng cố kiến thức, bạn có thể giải các bài tập tương tự sau:

• Bài 1: Chứng minh rằng nếu một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng nằm trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.
• Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC. Chứng minh rằng BC ⊥ (SAB).

V. Kết Luận

Câu 12 trang 102 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp bạn hiểu sâu hơn về ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phân tích trên, bạn đã nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.