THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác các bài tập trong sách giáo khoa Hình học 11 Nâng cao. Trong bài viết này, chúng tôi sẽ cùng nhau giải quyết Câu 7 trang 121 SGK Hình học 11 Nâng cao, giúp bạn hiểu rõ hơn về kiến thức và phương pháp giải quyết các bài toán liên quan.
Chúng tôi cam kết mang đến cho bạn những giải pháp học tập hiệu quả và dễ dàng tiếp thu.
Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD, chứng tỏ các tính chất sau là tương đương :
Đề bài
Một tứ diện được gọi là gần đều nếu các cạnh đối bằng nhau từng đôi một. Với tứ diện ABCD, chứng tỏ các tính chất sau là tương đương :
a. Tứ diện ABCD là gần đều ;
b. Các đoạn thẳng nối trung điểm cặp cạnh đối diện đôi một vuông góc với nhau ;
c. Các trọng tuyến (đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện) bằng nhau ;
d. Tổng các góc tại mỗi đỉnh bằng 180˚
Lời giải chi tiết
* Chứng minh a ⇔ b
Gọi M, N, P, Q, E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC, BD.
a ⇒ b. Do AC = BD nên MNPQ là hình thoi, vì thế MN ⊥ PQ. Tương tự ta có MN ⊥ EF, PQ ⊥ EF.
b) ⇒ a. MPNQ là hình bình hành mà MN ⊥ PQ nên MPNQ là hình thoi, tức là MP = MQ, từ đó AC = BD.
Tương tự như trên, ta cũng có BC = AD, AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ c
Gọi A’, B’ lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD và ACD.
a) ⇒ c. Ta có ΔBCD = ΔADC (c.c.c) nên BN = AN, từ đó A’N = B’N.
Vậy ΔAA’N = ΔBB’N (c.g.c), suy ra AA’ = BB’.
Tương tự như trên, ta có điều phải chứng minh.
c) ⇒ a. Do giả thiết ta có BB’ = AA’, mà AA’ cắt BB’ tại G, AG = 3GA’, BG = 3GB’ (xem BT 22, chương II, SGK), từ đó BG = AG và GA’ = GB’. Các tam giác BGA’ và AGB’ bằng nhau nên BA’ = AB’.
Như vậy BN = AN, mà :
\(\eqalign{ & A{C^2} + A{D^2} = 2A{N^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr & B{C^2} + B{D^2} = 2B{N^2} + {{C{D^2}} \over 2} \cr} \)
Do đó \(A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\) (1)
Tương tự như trên ta có : \(C{A^2} + C{B^2} = D{A^2} + D{B^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra AD = BC và AC = BD.
Tương tự như trên ta cũng có AB = CD.
* Chứng minh a ⇔ d
a) ⇒ d. Do sự bằng nhau của các tam giác ABC, CDA, BAD với tam giác DCB nên tổng các góc tại B bằng 180˚
Đối với các đỉnh còn lại cũng được lí luận tương tự như trên.
d) ⇒ a. Trải các mặt ABC, ACD, ABD lên mặt phẳng (BCD).
Do tổng các góc tại B cũng như tại C, tại D đều bằng 180˚ nên các bộ ba điểm A1, C, A2; A2, D, A3; A3, B, A1 là những bộ ba điểm thẳng hàng.
Như vậy, BC, CD, BD là ba đường trung bình của tam giác A1A2A3. Từ đó BD = A1C = CA2 = CA. Tương tự ta cũng có AD = BC, CD = AB.
Câu 7 trang 121 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng trong chương trình học, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian để giải quyết. Bài toán thường liên quan đến việc xác định mối quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng, kiểm tra tính song song, vuông góc, hoặc đồng phẳng của chúng.
Thông thường, bài toán Câu 7 trang 121 sẽ đưa ra một hình chóp hoặc một hình đa diện khác, cùng với một số đường thẳng và mặt phẳng liên quan. Yêu cầu của bài toán có thể là:
Để giải quyết bài toán Câu 7 trang 121 một cách hiệu quả, bạn cần nắm vững các kiến thức sau:
(Giả sử bài toán cụ thể là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm của CD. Chứng minh rằng SM vuông góc với mặt phẳng (ABCD).)
Lời giải:
Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD. Do đó, BD ⊥ MP (với P là giao điểm của AC và BD). Mặt khác, SM ⊥ MP (vì SM là đường cao của tam giác SMP). Vậy SM ⊥ (ABCD) (đường thẳng SM vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng (ABCD)).
Ngoài Câu 7 trang 121, bạn cũng có thể gặp các bài toán tương tự với các yêu cầu khác nhau. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Để giải các bài tập hình học không gian một cách hiệu quả, bạn nên:
Để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải bài tập Hình học 11 Nâng cao, bạn có thể tham khảo các tài liệu sau:
Câu 7 trang 121 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình để rèn luyện kỹ năng giải bài tập về đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hy vọng rằng với lời giải chi tiết và các phương pháp giải bài tập được trình bày trong bài viết này, bạn sẽ tự tin hơn khi đối mặt với các bài toán tương tự.
