Bài 4. Cấp số nhân

Bài 4. Cấp số nhân - SGK Toán 11 Nâng cao: Tổng quan

Cấp số nhân là một dãy số đặc biệt, trong đó mỗi số hạng sau được tạo thành bằng cách nhân số hạng trước đó với một số không đổi gọi là công bội. Bài học này sẽ đi sâu vào định nghĩa, các tính chất quan trọng và các công thức liên quan đến cấp số nhân.

1. Định nghĩa cấp số nhân

Một dãy số (u_n) được gọi là cấp số nhân nếu có một số thực q ≠ 0 sao cho u_n+1 = q.u_n với mọi n ≥ 1. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

2. Các tính chất của cấp số nhân

Nếu u₁ = 0 thì u_n = 0 với mọi n.
Nếu u₁ ≠ 0 và q = 1 thì u_n = u₁ với mọi n.
Nếu u₁ ≠ 0 và q = -1 thì u_n có giá trị xen kẽ dương và âm.

3. Công thức tổng quát của cấp số nhân

Số hạng thứ n của cấp số nhân được tính theo công thức: u_n = u₁.q^n-1

4. Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân

Tổng S_n của n số hạng đầu tiên của cấp số nhân được tính theo công thức:

Nếu q = 1: S_n = n.u₁
Nếu q ≠ 1: S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q)

5. Tổng vô hạn của cấp số nhân

Nếu |q| < 1, cấp số nhân có tổng vô hạn, được tính theo công thức: S = u₁ / (1 - q)

6. Các dạng bài tập thường gặp

Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân: Sử dụng công thức u_n = u₁.q^n-1.
Tìm công bội của cấp số nhân: Sử dụng công thức u_n+1 = q.u_n.
Tính tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Sử dụng công thức S_n = u₁.(1 - qⁿ) / (1 - q) hoặc S_n = n.u₁ (khi q = 1).
Tính tổng vô hạn của cấp số nhân: Sử dụng công thức S = u₁ / (1 - q) (khi |q| < 1).
Ứng dụng cấp số nhân vào giải toán thực tế: Các bài toán về lãi kép, sự tăng trưởng dân số, v.v.

7. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho cấp số nhân có u₁ = 2 và q = 3. Tính u₅ và S₅.

Giải:

u₅ = u₁.q⁴ = 2.3⁴ = 162
S₅ = u₁.(1 - q⁵) / (1 - q) = 2.(1 - 3⁵) / (1 - 3) = 2.(-242) / (-2) = 242

8. Bài tập luyện tập

Để củng cố kiến thức, bạn hãy tự giải các bài tập sau:

Bài 1: Tìm số hạng thứ 7 của cấp số nhân có u₁ = 5 và q = 2.
Bài 2: Tính tổng 10 số hạng đầu của cấp số nhân có u₁ = 1 và q = -1.
Bài 3: Một người gửi tiết kiệm ngân hàng với số tiền ban đầu là 10 triệu đồng, lãi suất 0.5% mỗi tháng. Hỏi sau 1 năm người đó có bao nhiêu tiền (cả gốc lẫn lãi)?

9. Kết luận

Bài học về cấp số nhân cung cấp những kiến thức cơ bản và quan trọng trong chương trình Toán 11 Nâng cao. Việc nắm vững các định nghĩa, tính chất và công thức liên quan đến cấp số nhân sẽ giúp bạn giải quyết các bài toán một cách hiệu quả và tự tin hơn.