Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức cần thiết.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học tập hiệu quả nhất, giúp bạn tự tin chinh phục môn Toán.
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng dãy số \(\displaystyle (u_n)\) với \(\displaystyle {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}}\) là một dãy số giảm và bị chặn.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
- Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\), chứng minh \(H<0\).
- Đánh giá \(u_{n}\) bị chặn dưới và bị chặn trên, tức là chỉ ra tồn tại các số thực \(m,M\) sao cho \(m \le {u_n} \le M\).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\displaystyle \eqalign{& {u_n} = {{2n + 3} \over {3n + 2}} = {{{2 \over 3}\left( {3n + 2} \right) + {5 \over 3}} \over {3n + 2}} \cr&= {2 \over 3} + {5 \over {3\left( {3n + 2} \right)}} \cr } \)
\(\begin{array}{l}u_{n+1}-u_n\\= \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left[ {3\left( {n + 1} \right) + 2} \right]}}} \right) - \left( {\frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}} \right)\\ = \frac{2}{3} + \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{2}{3} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{5}{{3\left( {3n + 5} \right)}} - \frac{5}{{3\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{5\left( {3n + 2} \right) - 5\left( {3n + 5} \right)}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 15}}{{3\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = - \frac{5}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
\(\displaystyle ⇒ (u_n)\) là dãy số giảm
Ta lại có:
+) \(\frac{{2n + 3}}{{3n + 2}} > 0,\forall n \in {N^*}\)
+) \(2n + 3 < 3n + 2,\forall n \in {N^*}\) vì \(2n + 3 - 3n - 2 = - n + 1 \le 0,\)\(\forall n \in {N^*}\)
Do đó \(\displaystyle 0 < {{2n + 3} \over {3n + 2}} \le 1 \;\forall n \in\mathbb N^*\)
Vậy \(\displaystyle (u_n)\) là dãy số giảm và bị chặn.
Cách khác:
\(\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\ = \frac{{2\left( {n + 1} \right) + 3}}{{3\left( {n + 1} \right) + 2}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{2n + 5}}{{3n + 5}} - \frac{{2n + 3}}{{3n + 2}}\\ = \frac{{\left( {2n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right) - \left( {2n + 3} \right)\left( {3n + 5} \right)}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{6{n^2} + 19n + 10 - 6{n^2} - 19n - 15}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}}\\ = \frac{{ - 5}}{{\left( {3n + 5} \right)\left( {3n + 2} \right)}} < 0,\forall n \in {N^*}\end{array}\)
Do đó \( (u_n)\) là dãy số giảm.
Câu 14 Trang 106 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải
Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm trong việc giải quyết các bài toán thực tế. Bài tập này thường tập trung vào việc tìm cực trị của hàm số, khảo sát sự biến thiên của hàm số và ứng dụng đạo hàm để giải các bài toán tối ưu hóa.
I. Đề Bài Câu 14 Trang 106 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao
(Đề bài cụ thể của câu 14 sẽ được trình bày tại đây. Ví dụ: Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2. Tìm các điểm cực trị của hàm số.)
II. Phương Pháp Giải
Để giải quyết bài tập này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
- Tính đạo hàm cấp một (y') của hàm số. Đạo hàm cấp một cho biết tốc độ thay đổi của hàm số tại một điểm bất kỳ.
- Tìm các điểm dừng của hàm số. Các điểm dừng là các điểm mà đạo hàm cấp một bằng 0 hoặc không tồn tại.
- Khảo sát dấu của đạo hàm cấp một trên các khoảng xác định. Việc khảo sát dấu của đạo hàm cấp một giúp xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến.
- Xác định các điểm cực trị của hàm số. Dựa vào dấu của đạo hàm cấp một khi đổi dấu, ta có thể xác định các điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
- Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị. Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số trên một khoảng xác định.
III. Lời Giải Chi Tiết
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một
y' = 3x2 - 6x
Bước 2: Tìm các điểm dừng
3x2 - 6x = 0
3x(x - 2) = 0
=> x = 0 hoặc x = 2
Bước 3: Khảo sát dấu của đạo hàm cấp một
Xét khoảng (-∞, 0): Chọn x = -1, y' = 3(-1)2 - 6(-1) = 9 > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0)
Xét khoảng (0, 2): Chọn x = 1, y' = 3(1)2 - 6(1) = -3 < 0 => Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2)
Xét khoảng (2, +∞): Chọn x = 3, y' = 3(3)2 - 6(3) = 9 > 0 => Hàm số đồng biến trên khoảng (2, +∞)
Bước 4: Xác định các điểm cực trị
Tại x = 0, đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm => Hàm số đạt cực đại tại x = 0
Tại x = 2, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương => Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2
Bước 5: Tính giá trị của hàm số tại các điểm cực trị
y(0) = 03 - 3(0)2 + 2 = 2
y(2) = 23 - 3(2)2 + 2 = -2
Vậy, hàm số đạt cực đại tại điểm (0, 2) với giá trị cực đại là 2 và đạt cực tiểu tại điểm (2, -2) với giá trị cực tiểu là -2.
IV. Lưu Ý Khi Giải Bài Tập
- Luôn kiểm tra điều kiện xác định của hàm số trước khi tính đạo hàm.
- Sử dụng các quy tắc đạo hàm một cách chính xác.
- Khảo sát dấu của đạo hàm cấp một một cách cẩn thận để xác định khoảng hàm số đồng biến, nghịch biến và các điểm cực trị.
- Kiểm tra lại kết quả bằng cách vẽ đồ thị hàm số hoặc sử dụng các công cụ tính toán trực tuyến.
V. Bài Tập Tương Tự
Để củng cố kiến thức, bạn có thể thử giải các bài tập tương tự sau:
- Tìm cực trị của hàm số y = x4 - 4x2 + 3
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số y = -x3 + 3x2 - 2
Montoan.com.vn hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải Câu 14 trang 106 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chúc bạn học tập tốt!
