Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 6 Trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB} = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC} = c\overrightarrow {SC} .\)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SG} = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) \cr & Vay\,\overrightarrow {SG} = {a \over 3}\overrightarrow {SA'} + {b \over 3}\overrightarrow {SB'} + {c \over 3}\overrightarrow {SC'} \cr} \)
Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \({a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.
Câu 6 Trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao: Phân tích và Giải pháp Chi Tiết
Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là tích vô hướng để chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý cơ bản.
I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức quan trọng:
- Vectơ trong không gian: Định nghĩa, các phép toán (cộng, trừ, nhân với một số thực).
- Tích vô hướng của hai vectơ: Định nghĩa, công thức tính, ứng dụng để tính góc giữa hai vectơ và chứng minh tính vuông góc.
- Quan hệ vuông góc trong không gian: Hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng và mặt phẳng vuông góc, hai mặt phẳng vuông góc.
II. Phân tích bài toán Câu 6 Trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao
Thông thường, bài toán Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ yêu cầu chứng minh một mối quan hệ vuông góc nào đó trong một hình chóp hoặc một hình đa diện khác. Để giải quyết bài toán, chúng ta thường sử dụng các bước sau:
- Đặt hệ tọa độ: Chọn một hệ tọa độ thích hợp trong không gian, thường là hệ tọa độ Oxyz với gốc tọa độ tại một đỉnh của hình chóp và các trục tọa độ trùng với các cạnh hoặc đường thẳng quan trọng của hình.
- Tìm tọa độ các điểm: Xác định tọa độ của các điểm trong không gian dựa trên hệ tọa độ đã chọn.
- Biểu diễn các vectơ: Biểu diễn các vectơ liên quan đến mối quan hệ vuông góc cần chứng minh bằng tọa độ.
- Tính tích vô hướng: Tính tích vô hướng của các vectơ.
- Kết luận: Dựa vào kết quả tích vô hướng để kết luận về mối quan hệ vuông góc.
III. Giải chi tiết Câu 6 Trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao (Ví dụ minh họa)
(Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) của hình chóp S.ABC vuông tại A)
Lời giải:
1. Đặt hệ tọa độ: Chọn A là gốc tọa độ, AB là trục Ox, AC là trục Oy, AS là trục Oz.
2. Tìm tọa độ các điểm:
| Điểm | Tọa độ |
|---|---|
| A | (0; 0; 0) |
| B | (a; 0; 0) |
| C | (0; b; 0) |
| S | (0; 0; c) |
3. Biểu diễn các vectơ:
AS = (0; 0; c)
AB = (a; 0; 0)
AC = (0; b; 0)
4. Tính tích vô hướng:
AS.AB = 0.a + 0.0 + c.0 = 0
AS.AC = 0.0 + 0.b + c.0 = 0
5. Kết luận: Vì AS vuông góc với AB và AS vuông góc với AC, suy ra AS vuông góc với mặt phẳng (ABC).
IV. Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài bài toán Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết các bài toán này, bạn cần:
- Nắm vững các định lý và tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc.
- Luyện tập thường xuyên để làm quen với các dạng bài tập khác nhau.
- Sử dụng hệ tọa độ một cách linh hoạt và hiệu quả.
V. Lời khuyên khi học Hình học không gian
Hình học không gian là một phần kiến thức khá khó trong chương trình Hình học 11. Để học tốt môn học này, bạn nên:
- Vẽ hình minh họa một cách chính xác và tỉ lệ.
- Hiểu rõ bản chất của các khái niệm và định lý.
- Luyện tập giải nhiều bài tập khác nhau.
- Tham khảo các tài liệu học tập và nguồn học liệu trực tuyến.
Hy vọng bài giải chi tiết Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin hơn trong quá trình học tập.
