THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian.
Chúng tôi cung cấp lời giải dễ hiểu, chi tiết từng bước, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Đề bài
Cho hình chóp S.ABC. Lấy các điểm A’, B’, C’ lần lượt thuộc các tia SA, SB, SC sao cho SA = aSA’, SB = bSB’, SC = cSC’, trong đó a, b, c là các số thay đổi. Chứng minh rằng mặt phẳng (A’B’C’) đi qua trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi a + b + c = 3.
Lời giải chi tiết
Ta có: \(\overrightarrow {SA} = a\overrightarrow {SA'} ,\;\overrightarrow {SB} = b\overrightarrow {SB'} ,\;\overrightarrow {SC} = c\overrightarrow {SC} .\)
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC thì
\(\eqalign{ & \overrightarrow {SG} = {1 \over 3}.\left( {\overrightarrow {SA} + \overrightarrow {SB} + \overrightarrow {SC} } \right) \cr & Vay\,\overrightarrow {SG} = {a \over 3}\overrightarrow {SA'} + {b \over 3}\overrightarrow {SB'} + {c \over 3}\overrightarrow {SC'} \cr} \)
Mặt phẳng (A’B’C’) đi qua G khi và chỉ khi 4 điểm G, A’, B’, C’ đồng phẳng, nên theo kết quả bài tập 5 (SGK trang 91) , điều đó xảy ra nếu và chỉ nếu \({a \over 3} + {b \over 3} + {c \over 3} = 1\) , tức là: a + b + c = 3.
Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là tích vô hướng để chứng minh các mối quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm và định lý cơ bản.
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức quan trọng:
Thông thường, bài toán Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao sẽ yêu cầu chứng minh một mối quan hệ vuông góc nào đó trong một hình chóp hoặc một hình đa diện khác. Để giải quyết bài toán, chúng ta thường sử dụng các bước sau:
(Giả sử bài toán yêu cầu chứng minh đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) của hình chóp S.ABC vuông tại A)
Lời giải:
1. Đặt hệ tọa độ: Chọn A là gốc tọa độ, AB là trục Ox, AC là trục Oy, AS là trục Oz.
2. Tìm tọa độ các điểm:
| Điểm | Tọa độ |
|---|---|
| A | (0; 0; 0) |
| B | (a; 0; 0) |
| C | (0; b; 0) |
| S | (0; 0; c) |
3. Biểu diễn các vectơ:
AS = (0; 0; c)
AB = (a; 0; 0)
AC = (0; b; 0)
4. Tính tích vô hướng:
AS.AB = 0.a + 0.0 + c.0 = 0
AS.AC = 0.0 + 0.b + c.0 = 0
5. Kết luận: Vì AS vuông góc với AB và AS vuông góc với AC, suy ra AS vuông góc với mặt phẳng (ABC).
Ngoài bài toán Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao, còn rất nhiều bài tập tương tự yêu cầu chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết các bài toán này, bạn cần:
Hình học không gian là một phần kiến thức khá khó trong chương trình Hình học 11. Để học tốt môn học này, bạn nên:
Hy vọng bài giải chi tiết Câu 6 trang 91 SGK Hình học 11 Nâng cao này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về phương pháp giải và tự tin hơn trong quá trình học tập.
