Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Hình Học 11 Nâng Cao - Câu 25 Trang 112
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao tại montoan.com.vn. Bài viết này sẽ cung cấp lời giải chính xác, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán Hình học không gian.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những tài liệu học tập chất lượng, hỗ trợ bạn học tập hiệu quả và đạt kết quả tốt nhất.
Cho hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) có giao tuyến Δ. Lấy A, B cùng thuộc Δ và lấy C ϵ (P), D ϵ (Q) sao cho AC ⊥ AB, BD ⊥ AB và AB = AC = BD. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD khi cắt bởi mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với CD. Tính diện tích thiết diện khi AC = AB = BD = a.
Đề bài
Cho hai mặt phẳng vuông góc \((P)\) và \((Q)\) có giao tuyến \(Δ\). Lấy \(A, B\) cùng thuộc \(Δ\) và lấy \(C ϵ (P), D ϵ (Q)\) sao cho \(AC ⊥ AB, BD ⊥ AB\) và \(AB = AC = BD\). Xác định thiết diện của tứ diện \(ABCD\) khi cắt bởi mặt phẳng \((α)\) đi qua điểm \(A\) và vuông góc với \(CD\). Tính diện tích thiết diện khi \(AC = AB = BD = a.\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+ Xác định mp \((α)\) và tìm thiết diện
+ Tình diện tích thiết diện.
Lời giải chi tiết
+) Xác định mặt phẳng \((α)\) và thiết diện.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\).
Ta có: \(AI ⊥ BC\) vì \(AC=AB\). (1)
Do \(BD ⊥ AB\) - là giao tuyến chung nên \(BD ⊥ mp(ABC) \Rightarrow BD ⊥ AI.\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow AI ⊥ (DBC) \subset DC .\)
Trong \(mp(DCB)\), từ \(I\), kẻ \(IJ ⊥ CD (J ϵ CD)\)
\(\Rightarrow DC ⊥ AI \) và \(DC ⊥ IJ\)
\(\Rightarrow DC ⊥ (AIJ) \)
Vậy \(mp(AIJ)\) chính là mặt phẳng \((α)\) và thiết diện phải tìm là tam giác \(AIJ\).
+) Tính diện tích tam giác \(AIJ\)
Ta có: tam giác \(AIJ\) vuông tại \(I\) vì \( AI ⊥ (DBC) \subset IJ .\)
Vậy \({S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.AI.IJ\)
Tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt 2 a\)
Và \( AI = CI = BI = \frac{{BC}}{2} = \frac{{\sqrt 2 a}}{2}\)
Lại có: \(\Delta CIJ\) đồng dạng với \(\Delta CDB\) (chung góc \(C\) và \(\hat J = \hat B = 90^0\))
\( \Rightarrow \frac{{IJ}}{{DB}} = \frac{{CI}}{{CD}} \Rightarrow IJ = DB.\frac{{CI}}{{CD}}\)
Mà \(DB = a,\;\;CI = \frac{{\sqrt 2 a}}{2};\;\;CD = \sqrt {B{C^2} + B{D^2}} = \sqrt 3 a\)
\( \Rightarrow IJ = a.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}:\sqrt 3 a = \frac{{a\sqrt 6 }}{6}\)
\( \Rightarrow {S_{AIJ}} = \frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 2 }}{2}.\frac{{a\sqrt 6 }}{6} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{12}}\)
Câu 25 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao: Giải Chi Tiết và Phân Tích
Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong không gian. Bài toán thường yêu cầu học sinh xác định mối quan hệ giữa các vectơ, tính toán độ dài vectơ, góc giữa hai vectơ, hoặc chứng minh các đẳng thức vectơ.
Phân Tích Đề Bài và Xác Định Yêu Cầu
Trước khi bắt đầu giải bài toán, điều quan trọng nhất là phải đọc kỹ đề bài, hiểu rõ yêu cầu và xác định các dữ kiện đã cho. Thông thường, đề bài sẽ cung cấp thông tin về các điểm trong không gian, các vectơ liên quan, hoặc các mối quan hệ giữa chúng. Việc phân tích đề bài một cách cẩn thận sẽ giúp bạn lựa chọn phương pháp giải phù hợp và tránh những sai sót không đáng có.
Phương Pháp Giải Bài Toán Vectơ Trong Không Gian
Để giải quyết hiệu quả các bài toán về vectơ trong không gian, bạn cần nắm vững các kiến thức cơ bản sau:
- Các phép toán vectơ: Cộng, trừ, nhân với một số thực, tích vô hướng, tích có hướng.
- Các công thức tính toán: Độ dài vectơ, góc giữa hai vectơ, diện tích tam giác, thể tích tứ diện.
- Các tính chất của vectơ: Vectơ cùng phương, vectơ cùng chiều, vectơ đối nhau, vectơ vuông góc.
Lời Giải Chi Tiết Câu 25 Trang 112 SGK Hình Học 11 Nâng Cao
(Giả sử đề bài cụ thể của Câu 25 là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABCD).)
Lời giải:
- Chọn hệ tọa độ: Đặt A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a).
- Tìm vectơ chỉ phương của SB: SB = (a; 0; a).
- Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD): n = (0; 0; 1).
- Tính góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD): Góc giữa SB và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa SB và hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABCD). Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD), suy ra H(0;0;0). SH = a. Góc cần tìm là góc giữa SB và BH. tan(góc) = SH/BH = a/a = 1. Vậy góc = 45 độ.
Các Dạng Bài Tập Tương Tự và Luyện Tập
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài toán vectơ trong không gian, bạn có thể luyện tập với các bài tập tương tự sau:
- Bài tập về tính độ dài vectơ, góc giữa hai vectơ.
- Bài tập về chứng minh các đẳng thức vectơ.
- Bài tập về ứng dụng của vectơ trong việc giải các bài toán hình học không gian.
Lưu Ý Khi Giải Bài Toán Vectơ Trong Không Gian
Khi giải bài toán vectơ trong không gian, bạn cần lưu ý những điều sau:
- Luôn vẽ hình minh họa để hình dung rõ bài toán.
- Sử dụng hệ tọa độ một cách hợp lý để đơn giản hóa bài toán.
- Kiểm tra lại kết quả sau khi giải xong.
Kết Luận
Hy vọng bài giải chi tiết Câu 25 trang 112 SGK Hình học 11 Nâng cao này đã giúp bạn hiểu rõ hơn về cách giải các bài toán vectơ trong không gian. Chúc bạn học tập tốt và đạt kết quả cao trong môn Toán!
