Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao
Chào mừng bạn đến với Montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và chính xác cho Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ giúp bạn hiểu rõ phương pháp giải và nắm vững kiến thức liên quan.
Chúng tôi luôn cố gắng mang đến những giải pháp học toán hiệu quả nhất, giúp bạn tự tin đối mặt với mọi bài tập. Hãy cùng Montoan khám phá lời giải chi tiết cho câu hỏi này nhé!
Cho hàm số
Đề bài
Cho hàm số \(f\left( x \right) = 2{\cos ^2}\left( {4x - 1} \right)\). Chứng minh rằng với mọi x ta có \(\left| {f'\left( x \right)} \right| \le 8.\) Tìm các giá trị của x để đẳng thức xảy ra.
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Tính f'(x) và đánh giá sử dụng tính chất của hàm số lượng giác.
Lời giải chi tiết
Với mọi \(x \in\mathbb R\), ta có:
\(f'\left( x \right) = 2.2\cos \left( {4x - 1} \right).\left[ { - \sin \left( {4x - 1} \right)} \right]4\) \( = - 8\sin 2\left( {4x - 1} \right)\)
Suy ra: \(\left| {f'\left( x \right)} \right| = 8\left| {\sin 2\left( {4x - 1} \right)} \right| \le 8\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi :
\(\eqalign{ & \sin 2\left( {4x - 1} \right) = \pm 1 \cr & \Leftrightarrow 2\left( {4x - 1} \right) = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 16} + {{k\pi } \over 8} + {1 \over 4} \cr & \Leftrightarrow x = {1 \over {16}}\left( {\pi + 4 + k2\pi } \right)\,\,\left( {k \in\mathbb Z} \right) \cr} \)
Câu 36 Trang 212 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao: Phân Tích Chi Tiết và Lời Giải
Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng trong chương trình học, đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về hàm số, đạo hàm và các ứng dụng của đạo hàm. Bài tập này thường liên quan đến việc tìm cực trị của hàm số, khảo sát hàm số và giải các bài toán thực tế liên quan đến tối ưu hóa.
Nội Dung Bài Tập
Thông thường, câu 36 trang 212 sẽ yêu cầu học sinh thực hiện một trong các nhiệm vụ sau:
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
- Tìm các điểm cực trị của hàm số (cực đại, cực tiểu).
- Khảo sát sự biến thiên của hàm số (khoảng đồng biến, nghịch biến).
- Vẽ đồ thị hàm số.
- Giải các bài toán tối ưu hóa liên quan đến hàm số.
Phương Pháp Giải Chi Tiết
Để giải quyết bài tập này một cách hiệu quả, bạn cần thực hiện theo các bước sau:
- Xác định hàm số: Đọc kỹ đề bài để xác định chính xác hàm số cần khảo sát.
- Tìm tập xác định: Xác định các giá trị của x mà hàm số có nghĩa.
- Tính đạo hàm: Sử dụng các quy tắc đạo hàm để tính đạo hàm bậc nhất và bậc hai của hàm số.
- Tìm điểm cực trị: Giải phương trình đạo hàm bậc nhất bằng 0 để tìm các điểm nghi ngờ là cực trị. Sau đó, sử dụng đạo hàm bậc hai để xác định loại cực trị (cực đại, cực tiểu).
- Khảo sát sự biến thiên: Dựa vào dấu của đạo hàm bậc nhất để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.
- Vẽ đồ thị: Sử dụng các thông tin đã tìm được để vẽ đồ thị hàm số.
Ví Dụ Minh Họa
Giả sử hàm số cần khảo sát là: f(x) = x3 - 3x2 + 2
Bước 1: Tập xác định: Hàm số xác định trên R.
Bước 2: Đạo hàm:
- f'(x) = 3x2 - 6x
- f''(x) = 6x - 6
Bước 3: Điểm cực trị:
f'(x) = 0 ⇔ 3x2 - 6x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2
f''(0) = -6 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại.
f''(2) = 6 > 0 ⇒ x = 2 là điểm cực tiểu.
Bước 4: Khảo sát sự biến thiên:
- Hàm số đồng biến trên khoảng (-∞, 0) và (2, +∞).
- Hàm số nghịch biến trên khoảng (0, 2).
Lưu Ý Quan Trọng
Khi giải bài tập về hàm số, bạn cần chú ý đến các điểm sau:
- Kiểm tra kỹ tập xác định của hàm số.
- Sử dụng đúng các quy tắc đạo hàm.
- Phân tích kỹ dấu của đạo hàm để xác định khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị.
- Vẽ đồ thị hàm số một cách chính xác.
Ứng Dụng Của Bài Tập
Việc giải quyết bài tập về hàm số có nhiều ứng dụng trong thực tế, chẳng hạn như:
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng.
- Xây dựng mô hình toán học cho các bài toán thực tế.
- Phân tích và dự đoán xu hướng phát triển của một hiện tượng.
Kết Luận
Câu 36 trang 212 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp bạn củng cố kiến thức về hàm số và đạo hàm. Hy vọng với hướng dẫn chi tiết này, bạn sẽ tự tin giải quyết bài tập một cách hiệu quả. Chúc bạn học tốt!
