CHƯƠNG III: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Chương III trong sách giáo khoa Toán 11 Nâng cao tập trung vào việc nghiên cứu về vectơ trong không gian ba chiều và các mối quan hệ vuông góc giữa chúng. Đây là một phần quan trọng của chương trình hình học không gian, cung cấp nền tảng cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn trong các chương sau.

I. Vectơ trong không gian

1. Định nghĩa: Vectơ trong không gian là một đoạn thẳng có hướng. Nó được xác định bởi điểm gốc và điểm cuối. Vectơ được ký hiệu là AB, trong đó A là điểm gốc và B là điểm cuối.

2. Các phép toán trên vectơ:

• Phép cộng vectơ:AB + BC = AC (quy tắc tam giác hoặc quy tắc hình bình hành)
• Phép trừ vectơ:AB - BC = AC
• Phép nhân vectơ với một số thực: k.AB (k là một số thực)

3. Vectơ đơn vị: Vectơ có độ dài bằng 1.

4. Vectơ chỉ phương của đường thẳng: Vectơ song song hoặc trùng với đường thẳng đó.

II. Quan hệ vuông góc trong không gian

1. Góc giữa hai vectơ: Góc giữa hai vectơ a và b là góc θ thỏa mãn:

a ⋅ b = |a| |b| cos θ

2. Điều kiện vuông góc: Hai vectơ a và b vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0:

a ⋅ b = 0

3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng được gọi là vuông góc với mặt phẳng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó.

4. Hai mặt phẳng vuông góc: Hai mặt phẳng được gọi là vuông góc nếu góc giữa hai vectơ pháp tuyến của chúng bằng 90°.

III. Ứng dụng của vectơ trong không gian và quan hệ vuông góc

1. Tính khoảng cách:

• Khoảng cách giữa hai điểm
• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

2. Xác định phương trình đường thẳng và mặt phẳng:

• Phương trình tham số của đường thẳng
• Phương trình chính tắc của đường thẳng
• Phương trình mặt phẳng

3. Giải các bài toán hình học không gian:

• Chứng minh các quan hệ vuông góc
• Tính góc giữa hai vectơ, giữa đường thẳng và mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng
• Xác định vị trí tương đối giữa các đối tượng hình học

IV. Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hai vectơ a = (1; 2; -1) và b = (2; -1; 3). Tính tích vô hướng của a và b. Xác định xem hai vectơ này có vuông góc hay không.

Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d có phương trình: x = 2 + t, y = 1 - t, z = 3 + 2t. Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

Chương III: Vectơ trong không gian. Quan hệ vuông góc là một chương học quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về các khái niệm và định lý. Hy vọng với những kiến thức và bài tập được trình bày trên, bạn sẽ có thêm sự tự tin để chinh phục chương học này.