THCS
THCS
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài toán này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và phương trình mặt phẳng.
Chúng tôi sẽ cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
Đề bài
a. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD, AC ⊥ BD. Chứng minh rằng AD ⊥ BC. Vậy, các cạnh đối diện của tứ diện đó vuông góc với nhau. Tứ diện như thế gọi là tứ diện trực tâm.
b. Chứng minh các mệnh đề sau đây là tương đương :
i. ABCD là tứ diện trực tâm.
ii. Chân đường cao của tứ diện hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm của mặt đối diện.
iii. \(A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} = A{D^2} + B{C^2}\)
c. Chứng minh rằng bốn đường cao của tứ diện trực tâm đồng quy tại một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tứ diện nói trên.
Lời giải chi tiết
a. Kẻ AH ⊥ (BCD), H ϵ (BCD)
Ta có \(\left\{ {\matrix{ {CD \bot AH} \cr {CD \bot AB} \cr } } \right. \Rightarrow CD \bot \left( {ABH} \right)\)
Mà BH ⊂ (ABH) nên CD ⊥ BH (1)
Tương tự \(\left\{ {\matrix{ {BD \bot AH} \cr {BD \bot AC} \cr } } \right. \Rightarrow BD \bot \left( {ACH} \right) \Rightarrow BD \bot CH\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra H là trực tâm tam giác BCD.
Ta có: \(\left\{ {\matrix{ {BC \bot AH} \cr {BC \bot DH} \cr } } \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADH} \right) \Rightarrow BC \bot AD.\)
b. Theo chứng minh câu a ta có i ⇔ ii
Mặt khác ta có
\(\eqalign{ & A{B^2} + C{D^2} = A{C^2} + B{D^2} \cr & \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\overrightarrow {CD} ^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\overrightarrow {BD} ^2} \cr & \Leftrightarrow {\overrightarrow {AB} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right)^2} = {\overrightarrow {AC} ^2} + {\left( {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} } \right)^2} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AB} \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow AD \bot BC \cr} \)
Tương tự AB ⊥ CD và AC ⊥ BD
Vậy i ⇔ iii
c. Gọi K là trực tâm tam giác ACD thì K nằm trên AI (với BI ⊥ CD). Từ đó suy ra AH và BK cắt nhau do chúng thuộc mp(ABI)
tương tự bốn đường cao của tứ diện trực tâm cắt nhau đôi một và không cùng nằm trên một mặt phẳng nên chúng đồng quy.
Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ, đặc biệt là các phép toán vectơ và ứng dụng của chúng trong việc xác định mối quan hệ giữa các điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
(Nội dung đề bài sẽ được chèn vào đây - ví dụ: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần thực hiện các bước sau:
(Lời giải chi tiết sẽ được trình bày ở đây, bao gồm các bước tính toán cụ thể, giải thích rõ ràng và sử dụng các công thức liên quan. Ví dụ:
Chọn A là gốc tọa độ, AB là trục Ox, AD là trục Oy và AS là trục Oz. Khi đó, ta có các tọa độ sau: A(0;0;0), B(a;0;0), C(a;a;0), D(0;a;0), S(0;0;a).
Vectơ SC = (a;a;-a). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABCD) là n = (0;0;1).
Gọi α là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Ta có: sin α = |SC.n| / |SC| |n| = |a*0 + a*0 - a*1| / (√(a^2 + a^2 + a^2) * 1) = a / (a√3) = 1/√3.
Vậy α = arcsin(1/√3) ≈ 35.26 độ.
)
Ngoài Câu 20 trang 103, còn rất nhiều bài tập tương tự trong chương trình Hình học không gian 11 Nâng cao. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp:
Để giải tốt các bài tập Hình học không gian, bạn cần:
Câu 20 trang 103 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về vectơ và ứng dụng của chúng trong Hình học không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và các hướng dẫn trên, bạn đã hiểu rõ cách giải quyết bài toán này và tự tin hơn trong việc học tập môn Hình học.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng bạn trên con đường chinh phục môn Toán. Hãy truy cập website của chúng tôi để khám phá thêm nhiều bài giải, bài tập và tài liệu học tập hữu ích khác.
