Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 2 trong SGK Toán 11 Nâng cao chương V tập trung vào việc trang bị cho học sinh những công cụ cơ bản để tính đạo hàm của các hàm số phức tạp. Việc nắm vững các quy tắc này là nền tảng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đạo hàm trong chương trình học và các ứng dụng thực tế.

1. Quy tắc đạo hàm của một tổng hoặc hiệu

Quy tắc này khẳng định rằng đạo hàm của một tổng (hoặc hiệu) của các hàm số bằng tổng (hoặc hiệu) của các đạo hàm của từng hàm số thành phần. Công thức được biểu diễn như sau:

(u ± v)' = u' ± v'

Trong đó, u và v là các hàm số khả vi, u' và v' là đạo hàm của u và v tương ứng.

2. Quy tắc đạo hàm của một tích

Quy tắc này cho phép tính đạo hàm của tích của hai hàm số. Công thức được biểu diễn như sau:

(uv)' = u'v + uv'

Quy tắc này đặc biệt hữu ích khi làm việc với các hàm số có dạng tích, ví dụ như x²sin(x).

3. Quy tắc đạo hàm của một thương

Quy tắc này được sử dụng để tính đạo hàm của thương của hai hàm số. Công thức được biểu diễn như sau:

(u/v)' = (u'v - uv') / v²

Lưu ý rằng mẫu số v phải khác 0.

4. Quy tắc đạo hàm của hàm hợp

Đây là quy tắc quan trọng nhất và thường được sử dụng nhất trong việc tính đạo hàm. Quy tắc này cho phép tính đạo hàm của một hàm số được tạo thành từ việc hợp của các hàm số khác. Công thức được biểu diễn như sau:

(f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

Trong đó, f và g là các hàm số khả vi.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính đạo hàm của hàm số y = x³ + 2x² - 5x + 1

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tổng, ta có:

y' = (x³)' + (2x²)' - (5x)' + (1)' = 3x² + 4x - 5 + 0 = 3x² + 4x - 5

Ví dụ 2: Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x) * x²

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một tích, ta có:

y' = (sin(x))' * x² + sin(x) * (x²)' = cos(x) * x² + sin(x) * 2x = x²cos(x) + 2xsin(x)

Ví dụ 3: Tính đạo hàm của hàm số y = (x + 1) / (x - 1)

Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương, ta có:

y' = ((x + 1)' * (x - 1) - (x + 1) * (x - 1)') / (x - 1)² = (1 * (x - 1) - (x + 1) * 1) / (x - 1)² = (x - 1 - x - 1) / (x - 1)² = -2 / (x - 1)²

Bài tập luyện tập

Tính đạo hàm của hàm số y = 4x⁵ - 3x² + 7
Tính đạo hàm của hàm số y = cos(x) * e^x
Tính đạo hàm của hàm số y = (2x - 1) / (x + 2)
Tính đạo hàm của hàm số y = sin(x²)

Việc luyện tập thường xuyên với các bài tập khác nhau sẽ giúp bạn nắm vững các quy tắc tính đạo hàm và tự tin giải quyết các bài toán phức tạp hơn. montoan.com.vn cung cấp nhiều bài tập đa dạng với đáp án chi tiết để bạn có thể tự học và kiểm tra kiến thức của mình.

Hy vọng bài học này đã cung cấp cho bạn những kiến thức cơ bản và hữu ích về các quy tắc tính đạo hàm. Chúc bạn học tập tốt!