THCS
THCS
Chào mừng các em học sinh đến với bài giải chi tiết Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài tập này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các mối quan hệ trong không gian.
Chúng tôi sẽ cung cấp phương pháp giải bài tập một cách dễ hiểu, giúp các em nắm vững kiến thức và tự tin giải các bài tập tương tự.
Cho hai tia Ax và By nằm trên hai đường thẳng chéo nhau. Một điểm M chạy trên Ax và một điểm N chạy trên By sao cho AM = kBN (k > 0 cho trước)
Chứng minh rằng MN song song với một mặt phẳng cố định
Giải chi tiết:
Dựng tia Bz song song và cùng hướng với tia Ax. Trên các tia Ax, By và Bz lần lượt lấy các điểm cố định M0, N0 và M’0 sao cho \({{A{M_0}} \over {B{N_0}}} = k\) và \(BM{'_0} = A{M_0}\)
Khi đó ta có : \({M_0}M{'_0}//AB\) và \({{BM{'_0}} \over {BN_0}} = k\,\,\left( 1 \right)\)
Lấy điểm M’ thuộc tia Bz sao cho BM’ = AM.
Từ (1) và (2) ta có : MM’ // M0M’0 (3)
Và \({{BM'} \over {BN}} = {{B{M'_0}} \over {B{N_0}}}\,\,\left( 4 \right)\)
Từ (4) suy ra NM’ // N0M’0 (5)
Từ (3) và (5) suy ra mp(MNM’) // mp(M0N0M’0).
Vậy MN luôn song song với mặt phẳng cố định (M0N0M’0)
Tìm tập hợp các điểm I thuộc đoạn MN sao cho IM = kIN
Giải chi tiết:
Thuận. Gọi O là một điểm thuộc đoạn thẳng AB sao cho OA : OB = k. Từ O ta vẽ hai tia Ox’ và Oy’ sao cho Ox’ // Ax, Oy’ // By. Xét phép chiếu song song theo phương AB lên mp(Ox’, Oy’). Gọi M’, N’ lần lượt là hình chiếu của M và N theo phép chiếu này. Khi đó, giao điểm của MN và M’N’ chính là điểm I vì rõ ràng ta có :
\({{IM} \over {IN}} = {{M'M} \over {N'N}} = {{OA} \over {OB}} = k\)
Trong tam giác M’ON’, ta có : \({{IM'} \over {IN'}} = k,{{OM'} \over {ON'}} = {{AM} \over {BN}} = k\)
Vậy \({{IM'} \over {IN'}} = {{OM'} \over {ON'}} = k.\) Từ đó suy ra I phải nằm trên tia phân giác Ot của góc x’Oy’.
Đảo. Giả sử I là một điểm bất kì thuộc tia phân giác Ot của góc x’Oy’.
Gọi M’, N’ là những điểm lần lượt thuộc tia Ox’, tia Oy’ sao cho M’, I, N’ thẳng hàng và \({{IM'} \over {IN'}} = k\) (có thể tìm M’, N’ bằng cách dùng phép vị tự tâm I tỉ số -k trên mp(Ox’y’)). Gọi M, N lần lượt là những điểm thuộc các tia Ax, By sao cho AM = OM’, BN = ON’. Dễ thấy I, M, N thẳng hàng và IM : IN = k
Kết luận : Tập hợp các điểm I thỏa mãn điều kiện bài toán là tia phân giác Ot của góc x’Oy’.
Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình trong chương trình Hình học không gian, yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức về vectơ để chứng minh các mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các khái niệm cơ bản về vectơ, tích vô hướng, và các điều kiện để hai đường thẳng vuông góc, đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
Đề bài Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao thường yêu cầu chứng minh một mối quan hệ vuông góc nào đó trong không gian. Để giải quyết bài toán, chúng ta cần:
(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Chứng minh rằng SC vuông góc với mặt phẳng (SAD).)
Lời giải:
Ta có:
Để củng cố kiến thức, các em có thể tự giải các bài tập tương tự với các hình vẽ và dữ kiện khác nhau. Hãy chú ý đến việc xác định đúng các vectơ và áp dụng chính xác các điều kiện vuông góc.
Một số bài tập tương tự:
Câu 8 trang 78 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ và các điều kiện vuông góc trong không gian. Hy vọng với bài giải chi tiết này, các em sẽ hiểu rõ hơn về cách giải quyết bài toán và tự tin hơn trong các kỳ thi.
Montoan.com.vn luôn đồng hành cùng các em trên con đường chinh phục môn Toán. Chúc các em học tập tốt!
