Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao
Giải Bài Tập Toán 11 Nâng Cao - Câu 44 Trang 122
Chào mừng bạn đến với montoan.com.vn, nơi cung cấp lời giải chi tiết và dễ hiểu cho các bài tập trong sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Bài viết này sẽ tập trung vào việc giải Câu 44 trang 122, giúp bạn nắm vững kiến thức và kỹ năng giải toán.
Chúng tôi cam kết cung cấp nội dung chính xác, đầy đủ và trình bày một cách rõ ràng, giúp bạn tự tin hơn trong quá trình học tập.
Chứng minh rằng
Đề bài
Chứng minh rằng
\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {n - 1} \right).{n^2} = {{n\left( {{n^2} - 1} \right)\left( {3n + 2} \right)} \over {12}}\) (1)
Với mọi số nguyên \(n ≥ 2\)
Lời giải chi tiết
+) Với \(n = 2\) ta có:
\({1.2^2} = {{2\left( {{2^2} - 1} \right)\left( {3.2 + 2} \right)} \over {12}} = 4\)
Vậy (1) đúng với \(n = 2\)
+) Giả sử (1) đúng với \(n = k\), tức là ta có :
\({1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right){k^2} = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}}\)
+) Ta chứng minh (1) đúng với \(n=k+1\)
Ta có:
\(\eqalign{& {1.2^2} + {2.3^2} + ... + \left( {k - 1} \right).{k^2} + k.{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = {{k\left( {{k^2} - 1} \right)\left( {3k + 2} \right)} \over {12}} + k{\left( {k + 1} \right)^2} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ {\left( {k - 1} \right)\left( {3k + 2} \right) + 12\left( {k + 1} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} - 3k + 2k - 2 + 12k + 12} \right)}}{{12}}\cr& = {{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 11k + 10} \right)} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {3{k^2} + 6k + 5k + 10} \right)}}{{12}}\cr&= {{k\left( {k + 1} \right)\left[ { {3k\left( {k + 2} \right)} + 5\left( {k + 2} \right)} \right]} \over {12}} \cr & = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {3k + 5} \right)}}{{12}}\cr& = {{\left( {k + 1} \right)\left( {{k^2} + 2k} \right)\left( {3k + 5} \right)} \over {12}} \cr & = {{\left( {k + 1} \right)\left[ {{{\left( {k + 1} \right)}^2} - 1} \right]\left[ {3\left( {k + 1} \right) + 2} \right]} \over {12}} \cr} \)
Điều đó chứng tỏ (1) đúng với \(n = k + 1\)
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi \(n ≥ 2\)
Giải Chi Tiết Câu 44 Trang 122 SGK Đại Số và Giải Tích 11 Nâng Cao
Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài toán thuộc chương trình học về hàm số lượng giác. Bài toán này thường yêu cầu học sinh vận dụng các kiến thức về tính chất của hàm số lượng giác, các công thức lượng giác cơ bản và kỹ năng giải phương trình lượng giác.
Nội Dung Bài Toán
Thông thường, Câu 44 trang 122 sẽ đưa ra một biểu thức lượng giác hoặc một phương trình lượng giác, yêu cầu học sinh:
- Rút gọn biểu thức.
- Giải phương trình.
- Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức.
- Chứng minh một đẳng thức lượng giác.
Phương Pháp Giải
Để giải quyết hiệu quả Câu 44 trang 122, học sinh cần nắm vững các phương pháp sau:
- Sử dụng các công thức lượng giác cơ bản: Các công thức cộng, trừ, nhân, chia góc, công thức hạ bậc, nâng bậc, công thức biến đổi tổng thành tích và ngược lại.
- Biến đổi lượng giác: Sử dụng các phép biến đổi đại số và lượng giác để đưa biểu thức hoặc phương trình về dạng đơn giản hơn.
- Giải phương trình lượng giác: Vận dụng các phương pháp giải phương trình lượng giác đã học, như phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp sử dụng đường tròn lượng giác, phương pháp sử dụng công thức nghiệm.
- Sử dụng tính chất của hàm số lượng giác: Xác định tập xác định, tập giá trị, tính đơn điệu, tính chẵn lẻ của hàm số lượng giác để tìm ra nghiệm hoặc giá trị của biểu thức.
Ví Dụ Minh Họa
Giả sử Câu 44 trang 122 có nội dung như sau:
“Cho biểu thức A = sin2x + cos2x + 2sinxcosx. Hãy rút gọn biểu thức A.”
Lời giải:
Ta có: A = sin2x + cos2x + 2sinxcosx
Áp dụng công thức lượng giác cơ bản sin2x + cos2x = 1 và công thức nhân đôi 2sinxcosx = sin2x, ta được:
A = 1 + sin2x
Vậy, biểu thức A được rút gọn là A = 1 + sin2x.
Lưu Ý Quan Trọng
Khi giải Câu 44 trang 122 và các bài tập lượng giác khác, học sinh cần lưu ý:
- Kiểm tra kỹ điều kiện xác định của phương trình lượng giác.
- Sử dụng đúng công thức lượng giác và biến đổi một cách chính xác.
- Biết cách lựa chọn phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài.
- Thực hành giải nhiều bài tập để rèn luyện kỹ năng và nâng cao kiến thức.
Mở Rộng Kiến Thức
Để hiểu sâu hơn về các kiến thức liên quan đến Câu 44 trang 122, học sinh có thể tham khảo thêm:
- Các bài giảng về hàm số lượng giác trên internet hoặc trong sách giáo khoa.
- Các bài tập tương tự trong sách bài tập hoặc đề thi thử.
- Các tài liệu tham khảo về lượng giác nâng cao.
Kết Luận
Câu 44 trang 122 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao là một bài tập quan trọng giúp học sinh củng cố kiến thức về hàm số lượng giác và rèn luyện kỹ năng giải toán. Bằng cách nắm vững các phương pháp giải và thực hành thường xuyên, học sinh có thể tự tin giải quyết các bài toán tương tự và đạt kết quả tốt trong học tập.
montoan.com.vn hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về Câu 44 trang 122 và tự tin hơn trong quá trình học tập môn Toán.
