Câu 9 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao
Giải Câu 9 Trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao
Chào mừng bạn đến với bài giải chi tiết Câu 9 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao trên website montoan.com.vn. Bài toán này thuộc chương trình Hình học không gian, tập trung vào việc vận dụng kiến thức về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian.
Chúng tôi cung cấp lời giải chi tiết, dễ hiểu, giúp bạn nắm vững phương pháp giải và tự tin làm bài tập.
Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy
Đề bài
Cho ba đường thẳng a, b, c không cùng nằm trong một mặt phẳng sao cho chúng đôi một cắt nhau. Chứng minh rằng chúng đồng quy
Lời giải chi tiết
Gọi \(I =a\cap b\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in {a}\\I \in {b}\end{array} \right.\)
Ta chứng minh \(I ∈ c\). Thật vậy,
Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(a,c\).
\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(b,c\).
Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.
Ngoài ra
\(\left\{ \begin{array}{l}{c} \subset \left( \beta \right)\\{c} \subset \left( \gamma \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {c}\)
\(I ∈ a\subset \left( \beta \right) \Rightarrow I ∈ (β) = (a,c)\)
\(I ∈ b\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (b,c)\)
Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=c\).
Cách khác:
Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(b\) và \(c\).
Gọi
\(\begin{array}{l}I = a \cap b \Rightarrow I \in b \subset \left( P \right)\\J = a \cap c \Rightarrow J \in c \subset \left( P \right)\end{array}\)
Nếu \(I,J\) phân biệt thì \(a\) đi qua cả \(I\) và \(J\) hay \(a \equiv IJ \subset \left( P \right)\)
Do đó \(a,b,c\) cùng nằm trong \(\left( P \right)\) (mâu thuẫn)
Do đó \(I \equiv J\) là điểm thuộc cả \(a,b,c\).
Vậy \(a,b,c\) đồng qui.
Câu 9 Trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao: Giải chi tiết và phương pháp
Câu 9 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán điển hình về ứng dụng của vectơ trong việc chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Để giải quyết bài toán này một cách hiệu quả, chúng ta cần nắm vững các kiến thức cơ bản về vectơ, tích vô hướng và các tính chất liên quan đến quan hệ vuông góc.
I. Tóm tắt lý thuyết cần thiết
Trước khi đi vào giải chi tiết, hãy cùng ôn lại một số kiến thức lý thuyết quan trọng:
- Vectơ: Định nghĩa, các phép toán trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số thực).
- Tích vô hướng: Định nghĩa, công thức tính tích vô hướng của hai vectơ, ứng dụng của tích vô hướng để tính góc giữa hai vectơ.
- Quan hệ vuông góc: Hai vectơ vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng của chúng bằng 0.
- Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng khi và chỉ khi đường thẳng đó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
II. Giải chi tiết Câu 9 Trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao
(Giả sử đề bài là: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SA = a. Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).)
Lời giải:
- Xác định các yếu tố cần thiết:
- Đường thẳng SC.
- Mặt phẳng (ABCD).
- Góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC và hình chiếu của SC lên (ABCD).
- Tìm hình chiếu của SC lên (ABCD):
Gọi H là hình chiếu của S lên (ABCD). Vì SA vuông góc với (ABCD) nên H trùng với A. Do đó, hình chiếu của SC lên (ABCD) là AC.
- Tính góc giữa SC và (ABCD):
Góc giữa SC và (ABCD) là góc SCA. Ta có: tan SCA = SA/AC = a/(a√2) = 1/√2. Suy ra SCA = arctan(1/√2) ≈ 35.26°.
III. Các dạng bài tập tương tự và phương pháp giải
Ngoài Câu 9 trang 50, còn rất nhiều bài tập tương tự liên quan đến việc ứng dụng vectơ để chứng minh quan hệ vuông góc trong không gian. Dưới đây là một số dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải:
- Chứng minh hai đường thẳng vuông góc: Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ chỉ hướng của hai đường thẳng.
- Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Chứng minh đường thẳng đó vuông góc với hai đường thẳng nằm trong mặt phẳng.
- Tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: Tìm hình chiếu của đường thẳng lên mặt phẳng, sau đó tính góc giữa đường thẳng và hình chiếu.
IV. Luyện tập thêm
Để củng cố kiến thức và kỹ năng giải bài tập, bạn có thể tham khảo thêm các bài tập sau:
- Bài 10 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao.
- Bài tập trắc nghiệm về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian.
- Các bài tập nâng cao về hình học không gian.
V. Kết luận
Câu 9 trang 50 SGK Hình học 11 Nâng cao là một bài toán quan trọng giúp học sinh rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức về vectơ và quan hệ vuông góc trong không gian. Hy vọng với lời giải chi tiết và phương pháp giải được trình bày trên đây, bạn sẽ tự tin hơn khi giải các bài tập tương tự.
